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向心加速度公式的微积分证明

证明 a = v^2/r. Sal Khan 创建

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在这个视频中 我要做的是用微积分证明著名的 向心加速度公式 它告诉了我们 向心加速度的大小 实际上的方向一直向着中心点改变 但是向心加速度的大小等于 速度平方除以半径 我要弄清楚 这是一个标量公式 我们说的是加速度的大小 和速度的大小 如果这些是矢量 我们应该在上面画上箭头 所以这个实际上 我不想让人们迷惑 因为(虽然)这是v (但其实是)与速率平方有关 这是大小 这些都是标量 所以为了做这个 我们做一些假设 是围绕行星运动的什么物体 我们设这是行星 有一个物体在绕着行星在轨道上运动 它是逆时针方向旋转 所以我们规定它的位置矢量是时间的函数 所以这是它的位置矢量 它是时间的函数 这样旋转 我们假设- 为了能证明- 所以这是y轴 这是x轴 我们把正x方向和矢量的方向 之间的夹角定义为θ 你们要假设物体在半径是r的轨道上 所以位置矢量的大小 即使方向一直在改变 位置矢量的大小不改变 长度总是r 所以这是个半径是r的圆 位置矢量的大小 随着时间变化 等于r 所以我们怎么表示 位置矢量的分量和时间的关系? 我们可以把位置矢量写出来 我要用工程符号表示 所以如果有一些看起来很陌生 你们可能要复习一下 相关视频 我要做一点三角学计算 来把矢量分量成各分量 如果有一些看起来不熟悉 我鼓励你们复习一下这些视频 如果你们取任何时刻的位置矢量 大小是r 角度是θ 它的x分量 用蓝色表示 这个矢量 矢量的大小 我可以说 是r cosθ 我们知道 这来源于基础三角学知识 当我们学习二维抛射问题的时候 我们知道了怎么把这些矢量分解成它的分量 这个矢量的y分量是r sinθ 所以这是r sinθ 所以任意时刻的位置矢量 可以写成x和y分量之和 所以这是x分量的大小 等于r cosθ 如果你们喜欢 我可以把θ写成时间的函数 但是我只要写成r cosθ(t) 我这样写 所以这表示了θ是时间的函数 这个物体在移动 就是这个乘以 单位矢量i 我们这里用的是工程符号 所以这是单位矢量i 它告诉了我们x分量在正x方向上 加上y分量的大小 就是rsinθ θ是时间的函数 所以为了弄清楚 θ是时间的函数 它在j方向上 所以这是单位矢量j 所以现在 我们有了关于θ的函数 实际上就是关于时间的函数 所以我们求它的导数 所以位置相对于时间的导数是什么? 就是速度矢量 (它)是时间的函数 它要等于 只要求每一项关于时间的导数 你们只要用链式法则 所以就有r在外面 因为它是个常数 cosθ(t) 对于t的导数 所以现在我只要用链式法则 这就是-sinθ(t) 因为链式法则 还要乘以θ(t)关于t的导数 所以乘以dθ/dt 这只是链式法则 所以这就是在x方向上的变化 在y方向上 我们要做同样的计算 在y方向上 同样求导数 把r放到前面 然后求 sinθ关于θ的导数是cosθ θ是时间的函数 然后用链式法则 你们也要把这乘以 θ对t的导数 乘以dθ/dt 所有这些乘以单位矢量j 现在 你们可能发现了一些东西 如果你们对这些感到陌生 你们应该重新看一下关于角速度的视频 但是dθ/dt 这是角速度 这就是为什么我说要重新看一下 在这里 角度对时间的变化率 这是角速度 所以这是角速度 为了做这个视频 我们要做这样的假设 这个公式 我们要假设 这个ω 就是角度对时间的变化率 我们假设 它是恒定的 所以这是我们为了证明做的假设 我们要假设ω是恒定的 如果ω是恒定的 那么我们可以把它看做常数 然后提到表达式外面 所以我们把-ωr提到表达式外面 所以我们可以把v(t)写成等于 我要提出-ωr 如果提出了-ωr 第一部分剩下了什么? 就剩下sinθ(t) θ是t的函数 我不用写出表达式 但是很确定θ是t的函数 然后乘以i单位矢量 加上 所以如果我们提出了-ωr 这就变成了-cosθ θ是t的函数 这个乘以单位矢量j 所以我们提出了-ωr 现在 我们求关于时间的导数 所以如果我们取速度关于时间的导数 这显然就是加速度关于时间的函数 我们要假设这个的大小是恒定的 但是实际上的方向是改变的 所以这是关于时间的加速度函数 等于-ωr 所以这个的导数是多少? 所以sinθ的导数 我们知道用链式法则 sinθ的导数 是cosθ θ是t的函数 然后根据链式法则 我们要用这个乘以 θ关于t的导数 我可以写成dθ/dt 但是同样的 就是ω 所以这是ω 这当然在i方向上 从这里 接下来 我们求 cosθ(t)关于θ的导数 所以这是-sinθ 所以可以把负号提出来 所以它变成了正sinθ(t) 然后用链式法则 θ关于t的导数 我们要乘以它 这样 我们要在这里写上 dθ/dt 但是这也等于ω 所有这些乘以单位矢量j 所以现在 我们提出另一个ω 得到了一些有趣的东西 我们得到一个加速度矢量作为时间的函数 如果提出另一个ω 就得到-ω^2 r 我只是提出了另一个-ω 乘以 我要把它写到括号里 cosθ(t)乘以单位矢量i 加上sinθ(t)乘以单位矢量j 现在 所有的这些是什么? 只要看一下这部分 r乘以这个 尤其 如果乘进去r 这恰好就是这些 r cos(t) 乘以单位矢量i加上 sinθ(t)乘以单位矢量j 所以这些我用橙色圈起来的 这是位置矢量 是时间的函数 所以所有我们做的就是得到了一个有趣的结果 我们算出了加速度矢量是时间的函数 等于负的恒定角速度的平方 乘以位置矢量 为了弄清楚 角速度是一种伪矢量 它很像标量 尤其当像这样关心两维的时候 它确实是个伪矢量 但是我们这样想 我们假设这是个恒定的数量 现在 我们非常非常非常接近这里 现在 我们想做的是 这实际上是它的标量大小 所以如果两边都取大小 所以我们说加速度矢量等于 这个常数乘以位置矢量 所以我们两边取大小 然后就得到了加速度矢量的大小 我把这叫做a_c 就等于 你们可以说等于这个-ω^2 但是当你们取它的大小 这实际上就像取绝对值 绝对值就是在一维上的大小 这就是正的ω^2 我们不管方向 符号告诉了我们方向 我们实际上只要关心大小 所以这就是-ω^2的大小 乘以位置矢量的大小 ω^2的大小就等于ω的平方 可以去掉符号 位置矢量的大小 我们在视频开始就见到过了 就是r 半径 所以这个等于 围绕运动的圆的半径 现在 我们也知道了角速度 或角速度的大小 等于速度的大小 或者物体的速率 除以围绕运动的圆的半径 所以我们可以把这代进去 所以如果把它平方 这就是v/r的平方 现在 我们在角速度的视频中见过了 乘以r 这就是加速度的大小 实际上就是向心加速度 向内方向的加速度 所以这就等于 我认为你们能看出来 这就等于v^2除以r^2乘以r 但是这个r和这个r^2约掉了 所以就只剩了v^2除以r 做完了 向心加速度的大小等于速率- (速度大小)的平方 除以半径 做完了