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向心加速度公式的视觉化理解

对向心加速度与速度和半径的关系的视觉化理解. Sal Khan 创建

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视频字幕

假设有某个物体沿此圆周轨迹运动 这里画出的是不同时间点 沿轨迹的速度矢量 这里是速度矢量v1 这是速度矢量v2 这是速度矢量v3 这个视频中我们将假设 速度矢量大小为常数 或者说速率为常数 速度矢量大小为常数 或者说速率为常数 我这里 小写v上无箭头的 就是标量 称之为速率 或者称为矢量的大小 这个量保持不变 这等于矢量v1的大小,等于矢量v2的大小 方向显然改变了 但大小没有改变 (也)等于矢量v3的大小 假设其轨迹是一个半径为r的圆 我这里将画一些位置矢量 这是位置矢量r1 这是位置矢量r2 位置显然发生了改变 这是位置矢量r2 这是位置矢量r3 不过位置矢量的大小显然相同 我将位置矢量的大小记作r 也就是圆的半径 r等于矢量r1的大小 等于矢量r2的大小,等于矢量r3的大小 这一节 我将直观上证明 在这个半径值及速率下 向心加速度的大小 记作a_c 上面没有箭头 所以它是标量 向心加速度的大小 等于速率平方除以圆轨迹的半径 等于速率平方除以圆轨迹的半径 这一节结束后 我希望让你们直观理解 确实是如此 我首先要将这些速度矢量重新绘制在另一个圆上 我首先要将这些速度矢量重新绘制在另一个圆上 考虑矢量本身如何变化 我复制粘贴一下 首先复制粘贴v1 v2也一样 v3也一样 这个矢量就是v3 这显然是v2,我就不标注了 v2用橙色 那么这个圆的半径是多少呢? 这个圆的半径也就是速度矢量的大小 速度矢量的大小也就是标量v 因(此)这个圆的半径是v 而这个圆的半径我们已经知道是r 速度矢量能给出位置矢量随时间变化的量 那么什么矢量能给出速度矢量随时间变化的量呢? 这也正是加速度矢量 因此这里有a1,a2 然后是a3 但愿你们能看懂这里的相似之处 沿圆周运动时 位置矢量首先指向左侧 然后左上 类似11点钟方向 然后向上 这就像时钟的指针一样 位置矢量像指针一样随时间转动 这是因为有速度矢量 位置矢量像指针一样随时间转动 这是因为有速度矢量 而这里 速度矢量像指针一样转动 让其转动的是加速度矢量 这里速度矢量与圆相切 并垂直于半径 这里速度矢量与圆相切 并垂直于半径 这里速度矢量与圆相切 并垂直于半径 这是几何知识 与圆相切的直线 垂直于该圆的半径 这里也是一样的情况 回到我们所学过的 我们学过向心加速度的直观理解 a1平移到这里会是这样指向中心 a1平移到这里会是这样指向中心 a2也指向中心 a3平移后也指向中心 所有这些加速度都是指向中心的矢量 因此这些才被称作向心加速度矢量 这里我们只考虑其大小 假设所有这些大小相等 向心加速度大小总是a_c 它等于矢量a1的大小,等于矢量a2的大小 等于矢量a3的大小 现在我想知道 从圆上这里到这里需要多久 现在我想知道 从圆上这里到这里需要多久 可以考虑 驶过的圆弧长度是多少 这段弧长是圆周的1/4 是1/4的圆周长 周长是2πr 这里乘以1/4 因此弧长就是这个 走这么远需要多久呢 这需要用路径长度除以实际速率 沿该路径前进的速率 除以速度大小 或者说速率 这是速度的大小 不是速度 这不是矢量 而是标量 这里求的是沿路径行驶这么远所需的时间 沿这段路径行驶所需的时间 等于沿这段路径行驶所需的时间 这里是对速度矢量 原来是位置矢量的变动 而现在是速度矢量的变动 这里是相同的时间t 那么这段路径的长度是多少呢? 这可以从几何方面考虑 这是一个圆 圆的半径是v 因此路径长度是圆周长的1/4 这和之前的情况完全一致 这个圆的周长,2*pi*v,乘以1/4 现在是什么使之沿着圆的路径前进? 前面的速率在这里对应的是什么? 之前, 速度是推动它沿着路径运动。 也就是速度矢量的大小。 而这里,使之沿着路径运动的是加速度矢量的大小,也就是a_c。 这些时间是一样的 (可以)表示位置矢量变成这样所需的时间 也表示速度矢量变成这样所需的时间 所以这两个表达式可以划等号 也就是(1/4)2πr/v=(1/4)2πv/加速度矢量的大小 化简 两侧的1/4约掉 两侧的2π约掉 于是有r/v=v/向心加速度大小 然后交叉相乘 v乘以v是v^2, 等于a_c * r 交叉相乘也就是方程两侧同时乘以两侧分母 交叉相乘也就是方程两侧同时乘以两侧分母 两侧同时乘以v和a 两侧同时乘以v和a 乘的过程中 左边v约掉了 右边a_c约掉了 有 v^2 等于 a_c * r 要求向心加速度大小的表达式 只需要两侧同时除以r 我想就快大功告成了 左侧是向心加速度的大小 它等于(恒定)速度大小或者说速率的平方, 除以圆的半径 证明完毕