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课程: 物理 > 单元 9

课程 1: 密度与压强

压强是什么？

压强像是一种力，但又与力不同。

什么是压强？

如果你想用锤子把一个保龄瓶钉进墙，会发生什么呢？首先你钉不进去，其次以后再也没人给你借保龄瓶了。然而，如果你用同样大小的力来钉一个钉子，很有可能钉子会被钉入墙中。这说明有时仅知道力的大小是不够的：你还得知道力在作用面上是如何分布的。对钉子而言，钉子和墙之间全部的力都集中在钉子尖端那极小的面积中。但对于保龄瓶而言，它与墙的接触面积要大得多，因此力会分散得多。

为了明晰这个想法，我们引入压强的概念。我们将物体所受的力与受力面积之比定义为压强。

P = \frac{F}{A}

因此若想要增大压强，你可以增大压力或者可以减小受力面积（或二者兼有）。换句话说，如果一个钉板上所有钉子尖端的面积之和足够大，那么你可以放心的躺在这块钉板上。

通过定义可知压强的单位是牛顿每平方米，即

\frac{N}{m^{2}}

，记作帕斯卡，简写为

Pa

。

如何计算流体中的压强？

固体表面可以施加压强，而流体（比如液体或气体）同样可以施加压强。仔细想想的话也许你会觉得奇怪：很难想像用液体来钉钉子。为了体会流体的压强，你可以想象淹没在一定深度的水中的感觉。你身体上方的水由于引力的作用向下压着你，即对你施加了压强。如果你潜得更深，你身体上方的水就更多，因此水对你施加的压强应该更大。

不仅液体的重量能够产生压强，气体的重量也能产生压强。比如说，我们地球大气层的空气可有不少，而且我们通常都呆在厚厚的大气层的底部。大气的重量对你身体造成的压强很大，出乎意料的大，而由于大气压强一直存在，因此我们根本感觉不到。我们只能感觉到大气压强的变化（比如坐飞机在高空时或者在泳池里潜水时）。而这么大的大气压强并没有对我们的身体造成损伤，是因为我们身体内部同样有向外的压强，平衡了向内的大气压强。但这就意味着，一旦太空海盗把你扔进地球之外的真空中，因为没有了外部空气向内的压强，你体内的压强会一直向外用力，这个力很大的。

你的身体应该不会爆开，因为人体的肌肉、骨骼、皮肤足够坚韧。但这肯定会非常非常不舒服。除了缺氧和宇宙射线的直接照射这些意料之中的伤害之外，你的眼睛会凸出来，你的耳鼓膜会爆开，还有你舌头上的口水很可能会沸腾——因为压强减小沸点会降低。在零压强下你的体温足够使你的口水和眼睛里的液体沸腾起来。所以重点是，尽量别被太空海盗抓住。

好吧，流体的重力能够对潜没其中的物体施加压强，但是我们如何确定流体所施加压强的大小？考虑将一个装豆子的罐子扔进泳池的情况，如下图所示。

罐子正上方的水柱的重力在给罐子的顶部施加压强，为了推导出压强的表达式，我们从压强的定义开始：

P = \frac{F}{A}

对于压力

F

我们可以带入罐子正上方的水柱的重力。重力的表达式永远都是

W = m g

，所以罐子正上方的水柱的重力为

W = m_{w} g

，其中

m_{w}

是罐子正上方的水柱的质量。我们将以上代入压强表达式，则有：

P = \frac{m_{w} g}{A}

到了这一步，也许并不很明确我们的推导该往哪个方向走，但我们可以进一步简化表达式：用水的密度和体积代入质量

m_{w}

。由于密度等于质量除以体积

ρ = \frac{m}{V}

，我们可以写出水柱质量的表达式

m_{w} = ρ_{w} V_{w}

，其中

ρ_{w}

为水的密度，

V_{w}

为罐子正上方水柱的体积（注意不是整个泳池的体积）。将

m_{w} = ρ_{w} V_{w}

作为水柱质量代入上式，我们有：

P = \frac{ρ_{w} V_{w} g}{A}

初看之下感觉公式怎么越推导越复杂了，但是马上就会发生奇迹，请别换台。现在公式的分子包含体积，分母包含面积，直觉上来说，我们应该可以约掉一些东西。我们知道圆柱体的体积为

V_{w} = A h

，其中

A

为圆柱体的底面积，

h

为圆柱体的高。我们可将

V_{w} = A h

代入公式，并且将面积约掉，即：

P = \frac{ρ_{w} (A h) g}{A} = ρ_{w} h g

我们不仅是约去了面积，还推导出了一个仅与水的密度

ρ_{w}

、深度

h

、重力加速度

g

有关的表达式。这个表达式与豆子罐子的面积、大小、质量根本没关系，这简直是奇特又美妙。实际上，这个表达式除了罐子在水中的深度之外，跟罐子本身一点关系都没有。所以这个公式对在任意液体中任意物体应该都同样成立。或者说，你可以用这个公式直接计算液体中某个具体深度的压强大小，根本不用在意此处是否有一个罐子。你经常会看到这个公式里

h

和

g

交换位置的版本：

P = ρ g h

这里我们再次澄清一下，

ρ

是指导致压强的流体的密度，而非沉浸在流体中的物体的密度。

h

是指流体的深度，尽管是位于液面“以下”，我们仍然用正数带入公式。

g

是指重力加速度的大小，即

+ 9.8 \frac{m}{s^{2}}

。

现在你也许会想，“所以，水的重力和豆子罐子顶面的压强会把罐子向下推，对吗？”这是对的，但只对了一半。实际情况是水中的压强不仅从上面向下压着罐子，而是从所有方向由外向内挤压罐子。这些所有方向的压强叠加起来不是在向下压着罐子，而是从所有方向由外向内努力把罐子压扁，如下图所示。

好吧，如果你足够聪明你可能已经发现了，罐子的底部比顶部的位置更深，而由于位置越深压强越大（

P_{g a u g e} = ρ g h

），那么罐子底部向上的压强要比顶部向下的压强略微大一些。这意味着各方向由外向内的压强要试着压扁这个罐子，与此同时，各方向的压强互相抵消之后会剩下一个向上的力。上下压强差所导致的这个向上的力就是物体在流体中受到浮力的根源所在！但是……我们还没学到浮力，这稍微有点超前，所以咱们暂时先把这个想法留着，到浮力那一章的时候再拿出来。

这么想可能更容易些：当那个装豆子的罐子掉进水里，原本是水的一块空间现在被罐子粗鲁的占据了，将大量的水分子挤开。这导致了整个水平面的升高。但水的重力要求水要回到可能的最低水平面，所以水就会强迫自己流回被罐子抢占的那一块空间，这样才能尽可能的降低水平面高度。因此，无论那个罐子（或者任何其他东西）在不在水里，水分子由于重力的缘故，总是会互相挤压使水平面保持在最低点。公式

P = ρ g h

中压强

P

是一个标量，表示流体中每单位面积这种挤压的力有多大。

好吧，这是压强的微妙之处：它被定义为标量，而非向量。那为什么大家都喜欢在图上把压强像向量那样画成箭头？

尽管压强不是向量，并且本身没有方向，但由特定物体表面上的压强所产生的压力的确是向量。所以当大家在图中将压强指向某一特定方向时，这个箭头可以理解为流体在物体表面上的压强产生的压力的方向。

如果没有这么一个让压强产生压力的作用面，那么在水里画上一个表示力的方向的箭头就没有意义了。下图左边表示了水分子和压强，但没有定义方向。下图右边表示了一个冰激淋筒在水里受到有方向的压力。

但我们也可以在本课程里规定，流体中压强对作用面生成的压力的方向向内并且垂直于作用面。

如果你足够集中注意力的话，也许这时你会发现一个问题：“等会儿，水的上面还有空气对吧？难道不是罐子正上方的空气柱和水柱一起造成了罐子顶面的压强吗？”你的想法没错。水柱上方的空气同样在向下压着罐子顶面，而且空气的压力比你想的还要大。

如果你觉得空气没有质量也没有重量，那你就想错了。一个普通豆子罐头的顶面那么大的面积的空气圆柱，从地表一直延伸到大气层最顶端，大约有

30 kg

的质量（大约是 30 个菠萝那么重）。而一个象棋棋盘所承受的空气的重量（大气压强导致的压力）大约和一辆车差不多重。

你也许会奇怪如果一个棋盘上面承受着一辆车重量的力，我们怎么还能很轻松的把棋盘拿起来？这是因为棋盘下面也有一辆车重量的力把棋盘向上推啊。回忆一下，流体中的物体不是只受到向下的压强，流体的压强是从各个方向垂直于作用面向内压去。当我们把棋盘放桌子上时，好像棋盘下方并没有空气，但棋盘和桌子表面的粗糙以及看不见的小缺口已经足够空气进入棋盘下方了。如果你可以把棋盘和桌子表面都打磨光滑，并确保没有空气能进入棋盘和桌子之间，那么棋盘就会像吸盘一样被吸到桌子上。实际上，这就是吸盘的工作原理。吸盘将内部的空气挤出去，造成内部压强小于外部压强，并且吸盘的材质保证了贴合紧密不让空气进去，那么外部更大的压强就会将吸盘紧紧的压住。（如下图所示）

当空气泄露进去了，内部和外部的压强就相等了，吸盘可以很轻松的从之前吸附的表面脱离。

如果要写出豆子罐头顶面总压强（也叫做绝对压强）的公式，只需将液体的压强

ρ g h

和地球大气层的压强

P_{a t m}

加起来就好。

P_{t o t a l} = ρ g h + P_{a t m}

我们一般不会把大气压强

P_{a t m}

推导成类似液体压强的美妙关系式

ρ_{a i r} g h

，因为绝大部分在地表附近的人类活动对于大气层来说深度都一样是某个常数，不会有什么区别。

这意味着在地表附近的大气压强基本上就是一个常数，数值为

1.01 \times 10^{5} P a

。当然由于具体情况不同，比如不同的天气、湿度、海拔等，这个数值会有一些小的波动，但我们在做绝大多数物理计算时，都把这个值当作不变的常数来处理。也就是说，只要你正在计算压强的液体处于地表附近，并且直接接触着大气层（而非在真空罐这样的地方），那么总压强（也叫做绝对压强）公式可以直接写作：

P_{t o t a l} = ρ g h + 1.01 \times 10^{5} P a

绝对压强和相对压强的区别是什么？

在计算压强时，人们通常都不是想知道总压强（即包含有大气压强），一般情况下人们都只想知道某压强与大气压强的差别。原因是大气压强基本上是个常数，而且总是存在，所以把大气压强加进去多数时候会觉得没有必要，没有意义。比如说，你有一个轮胎瘪了，你知道这个瘪轮胎内的压强等于

1.01 \times 10^{5} P a

（轮胎内外压强都是大气压强的话就说明你的轮胎是瘪了）一点用都没有啊。轮胎内压强大于大气压强的部分，才能使让你的轮胎鼓起来并且能用。

因此，大部分测量设备和监测设备都使用相对压强

P_{g a u g e}

。相对压强是指以大气压强为基准点计算的压强。当总压强大于大气压强时相对压强为正；总压强正好等于大气压强时，相对压强为零；总压强小于大气压强时，相对压强为负。

总压强通常被称为绝对压强

P_{a b s o l u t e}

。绝对压强是相对于完全真空的压强。所以比完全真空大的压强，绝对压强都为正；完全真空的绝对压强为零；绝对压强不会为负。

绝对压强

P_{a b s o l u t e}

、相对压强

P_{g a u g e}

、大气压强

P_{a t m}

三者是加和的关系，如下：

P_{a b s o l u t e} = P_{g a u g e} + P_{a t m}

在地面附近直接接触大气层的平静液体中，深度

h

处的相对压强和绝对压强分别是：

P_{g a u g e} = ρ g h

P_{a b s o l u t e} = ρ g h + 1.01 \times 10^{5} Pa

由于绝对压强和相对压强的差别是不变的大气压强值，因此在压强越大的情况下，绝对压强和相对压强的差所占的比重会越来越小。（如下图所示）

压强的难点在哪里？

很多人会把淹没在液体中的物体的密度

ρ_{o b j e c t}

代入相对压强公式

P = ρ g h

中，但公式中的密度指的是产生压强的液体的密度

ρ_{f l u i d}

。

经常会有人搞混绝对压强和相对压强。请记住，绝对压强等于相对压强加上大气压强。

另外，很不幸的是，至少有 5 个不同的压强单位你都会经常遇到（帕斯卡、标准大气压、毫米汞柱等）。国际单位制中压强的单位是帕斯卡 Pa，但标准大气压

a t m

也很常见。两者之间的相互转换为，

1 atm = 1.01 \times 10^{5} Pa

，因为一标准大气压当然就等于大气压强。

关于压强的例题

例1：计算椅子腿的压强

一把重

7.20 kg

的紫金色豪华椅子静止摆放在地上，四条椅子腿跟地面的接触面都是半径为

1.30 cm

的圆。这椅子设计的很好，重量被均匀地分布在四条腿上。

计算椅子腿和地面接触面的压强。

P = \frac{F}{A} （使用压强的定义，这里不用液体相对压强公式是因为这不是液体。）

P = \frac{m g}{A} （将椅子的重力公式 W = m g 代入公式中的 F)

P = \frac{m g}{4 \times π r^{2}} （将椅子腿与地面接触面的总面积 4 \times π r^{2} 带入公式中的 A。）

P = \frac{(7.20 kg) (9.8 \frac{m}{s^{2}})}{4 \times π (0.013 m)^{2}} （带入数字，注意将 cm 变换成 m。）

P = \frac{70.56 N}{0.002124 m^{2}} = 33, 200 Pa （算完收工！）

例2：潜水艇舷窗的受力

一只好奇的海马正在透过一个圆形的舷窗向潜水艇内部看去，这个潜水艇位于地中海海面下

63.0 m

的深度。海水的密度是

1025 \frac{kg}{m^{3}}

。舷窗是一个半径为

5.60 cm

的圆形。海马看到眼前的景象很震惊，搞不懂为什么这个圆玻璃受到海水这么大的压力还能撑住没碎。

海水的重力对潜水艇的圆形舷窗所施加的力有多大？

P = \frac{F}{A} （使用压强的定义公式，寻找压强和压力的关系）

F = P A （变形成力关于压强的表达式）

F = (ρ g h) A （将相对压强公式 P_{g a u g e} = ρ g h 代入上式，替换 P）

F = (1025 \frac{kg}{m^{3}}) (9.8 \frac{m}{s^{2}}) (63.0 m) (π \times [0.056 m]^{2}) （将 ρ, g, h, 以及 A 的数值代入）

F = 6, 230 N （算完收工！）

注：我们用相对压强公式来计算这道题是因为题目问的是“海水的重力”所施加的力有多大，然而绝对压强则会有两部分的力：由海水产生的力以及由海水上面的大气层所产生的力。

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