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课程: 物理 > 单元 9

课程 3: 流体力学

伯努利方程是什么？

这个方程给了你一种能分析流体在不同管径不同高度流动的问题的能力。

什么是伯努利定律?

伯努利定律描述了液体速度与液体压强之间的关系, 这个定律听起来并不是很好理解. 很多人甚至认为伯努利定律并不成立, 但是这可能是因为他们并不理解伯努利定律真正描述的东西. 伯努利定律如下,

伯努利定律: 在横向流动的液体内, 流速高的点的压强比流速低的点的压强小.

所以在一个水平的直径会变化的水管中, 水的流速快的区域所受到的压强会比水的流速慢的区域受到的压强小. 对于很多人来说这听起来并不合理因为人们一般会把高速与高压强关联起来. 但是, 我们会在后面的部分讲到这里其实说的就是如果水的后面的压强比水的前面的压强更高. 在下面的部分我们会先推导出伯努利定律, 更准确的描述它所表达的含义, 并试图让这个定理显得不那么神秘.

如何推导出伯努利定律?

无法被压缩的液体在进入一个狭窄的截面的时候必须加速来维持一个恒定的体积流动率. 这也就是为什么水管一端的喷嘴会使得水流速度变快. 但是关于这个现象你可能有疑惑. 如果水流在窄的地方会加速, 它同时获得了动能. 这些多出来的动能从何而来? 是喷嘴吗? 还是水管?

唯一的使得某样东西获得动能的办法就是对它做功. 动能定理阐述了这一点.

W_{e x t e r n a l} = Δ K = \frac{1}{2} m v_{f}^{2} - \frac{1}{2} m v_{i}^{2}

所以如果一部分液体加速了, 一定有一些这部分液体以外的东西对这部分液体做了功. 那么是什么力在这部分液体上做了功? 在现实世界系统中很多都是做负功的耗散力, 但是为了便于理解我们忽略这些力因此就有了一个连续的完美的层流. 层流意味着液体沿着平行层流动而不互相穿过. 在层流的情况下液体里没有旋涡.

好问题. 如果说液体是层流的, 完全没有旋涡, 没有动荡, 并且没有损失的能量是一个相当大胆的假设, 那么现在可能是一个好的时机让你知道流体力学正是因为在复杂的现实世界中难以进行高精度运算而著称. 现实世界中的情况的复杂性使得精确定义流体模型非常困难因为波动, 粘性, 内部摩擦, 旋涡都可能发生.

贺拉斯·兰姆, 在 1895 年发表了具有影响力的文章 流体力学 来阐述了相对于其他物理主题研究液体的动态的难度. 他晚年一句被传颂的话是

^{[1]}

"我已经老了, 在我死去而上天堂之前有两个问题我想弄明白. 一个是量子电动力学, 另一个就是液体的动荡. 而对于前一个问题我还比较乐观."

长话短说, 即使学习理想液体运动需要很多不切实际的假设, 由这些假设所得出的理论仍然可以被当做一个非常有用的工具来进行质量分析, 估算, 和一个进一步描述更复杂情况的好的起点.

^{[1]}

Davidson, P. A. (2004). Turbulence: An Introduction for Scientists and Engineers. Oxford University Press

那么我们假设我们没有因为耗散力而损失能量. 在这样的情况下, 是什么非耗散力可能对液体做了功使它加速呢? 周围液体的压力会导致一个力, 而正是这个力对那一小部分液体做了功并使它加速.

下图中水从左向右层流. 被标识出来的那部分水在进入狭窄区域的时候会加速. 由这部分水左侧的压强

P_{1}

所产生的压力向右推动并做正功因为它的方向与这部分液体的流动方向相同. 而由这部分水右侧的压强

P_{2}

所产生的压力向左推动并做负功因为它的方向与这部分液体的流动方向相反.

我们知道水必定会加速 (根据连续性方程) 因此有一个正功作用在这些水上. 所以左侧的压强产生的力所做的功大于右侧的压强产生的力所做的功. 这也就意味着宽的一侧/流速慢的一侧的压强

P_{1}

肯定大于窄的一侧/流速快的一侧的压强

P_{2}

好吧, 其实这里面还有一些细节. 功的公式是

W = F d

, 而力

F = P A

. 这也就意味着我们可以写,

W = F d = P A d

现在你可能认为因为左侧的压强

P_{1}

作用在较大的面积

A

上, 那么即使两边的压强一样左侧的水做的功也会更多. 但是这个压力所作用的距离

d

也会不同. 当这部分水经过狭窄的地方时它会被拉长以至于右侧压强

P_{2}

所产生的力会比左侧压强

P_{1}

所产生的力有更长的作用距离. 这两个因素互相抵消因为这部分水在整个移动过程中体积都是一样的. 所以仅仅因为表面积更大并不能印证存在的净正功. 左侧压强

P_{1}

一定比右侧压强

P_{2}

大所以作用在这部分液体上的净功是正的.

你可能也会好奇如果液体从右向左, 也就是往更宽的地方流动会发生什么. 在这种情况下, 由

P_{1}

一侧的水所做的功将会是负功因为它与水的移动方向相反. 这个负功将会比现在由

P_{2}

一侧的水所做的正功大所以液体在进入更宽的区域时会减速. 实际上也是这样. 液体在进入更宽的区域时会减速.

这种压强与液体中一个点的速度成反比的关系被称为 伯努利定律.

伯努利定律: 在一个水平层流中的点上, 压强高的区域的液体流速低, 压强低的区域的液体流速高.

如果想要简单理解伯努利定律的话可以这样想, 一部分液体在从一个高压强的区域流向一个低压强的区域时会因为这一方向上的净力而加速.

液体流速快的地方压强小这个概念似乎很奇怪. 当然, 速度更快的液体比速度更慢的液体打击在你的身上对你产生的压力更大, 对吧? 是的, 这是没错的. 但是我们现在所讨论的是两种不同的压强. 伯努利定律中所指的压强是液体内部压强也就是在流动过程中会向各个方向施加的压强, 包括对于管壁. 这与如果你站在中间阻止它前进你所受到的压强是不一样的.

注意伯努利定律并没有说高速流动的液体不能具有很高的压强. 它只说了在同一个系统里流速慢的地方的压强一定比流速快的地方的压强还要大.

什么是伯努利方程?

伯努利方程本质上是伯努利定律的一个更普遍的更精确的形式, 它同时考虑了重力势能的变化. 我们会在下个部分推导出这个公式, 但是在这之前, 让我们先看一看伯努利方程是什么, 它说明了什么以及怎么使用这个方程解决问题.

伯努利方程把一个稳定的密度为

ρ

的层流液体中任意两点(1 和 2) 的压强, 流速, 和高度联系起来. 伯努利方程通常写作,

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}

变量

P_{1}

v_{1}

h_{1}

分别指的是液体中点 1 的压强, 速度, 和高度, 同时变量

P_{2}

v_{2}

, 和

h_{2}

分别指的是液体中点2的压强, 速度, 和高度, 如下图所示. 下图展示的是随机选择的液体中的两个点 (1 和 2), 但是伯努利方程对于液体中的任意两点都成立.

当我们在使用伯努利方程的时候, 我们应该如何选取点呢? 其中一个点必须是你想知道的未知变量的地方. 不然你要如何求出这个变量? 对于第二个点一般应该选择你已知一些信息的点, 或者这部分液体暴露在大气压下, 因为那里的绝对压强就是大气压强

P_{a t m} = 1.01 \times 10^{5} 帕

注意

h

表示的是液体高于任意一个你选定的方便计算的点的高度. 一般来说选择两点中高度较低的那一点 (1 或 2) 作为

h = 0

P

指的是在那一点的压强. 你可以选择使用表压强或绝对压强, 但是不论你选择的是哪种压强 (表压强或绝对压强) 等式的另一边也要用同样的压强. 你不能取点 1 的表压强, 和点 2 的绝对压强进行计算. 同样的, 如果你取了点 1 的表压强并求出了点 2 的压强, 那么你得到的点 2 的压强也是表压强 (而不是绝对压强).

伯努利方程中的

\frac{1}{2} ρ v^{2}

和

ρ g h

看起来就像是动能

\frac{1}{2} m v^{2}

和势能

m g h

, 只是把质量

m

换成了密度

ρ

. 所以不出意外, 伯努利方程是将能量守恒定律应用在了流动液体中的结果. 我们会在下个部分用能量守恒定律推导出伯努利方程.

如何推导出伯努利方程?

如下图中, 水沿着一个横截面和高度都改变了的水管从左向右流动. 与之前一样, 水会在水管缩窄处加速并获得动能

K

, 以保证不可压缩液体的体积流动率, 即使缩窄的部分同时向上移动了. 但是因为现在缩窄的部分同时使液体向上流动了, 水会获得重力势能

U_{g}

以及动能

K

. 我们将通过让液体获得的能量等于外部对液体做的功来推导出伯努利方程.

让我们把注意力放在由体积 1 和体积 2 以及它们之间的液体所组成的能量系统上. 如果我们假设液体是层流的, 流动不剧烈, 以及没有影响液体流动的耗散力, 那么任何系统增加的额外能量

Δ (K + U)_{s y s t e m}

都是通过由液体周围的压强作用在液体上的外部功

(W_{e x t e r n a l})

所导致的.

我们有两种方法来推导. 你可以认为重力对于液体做了功, 在这种情况下你不会认为系统包含了水和地球之间的重力势能.

或者选择我们这里使用的常规方法, 我们可以认为我们的系统包含了水和地球之间的重力势能, 在这种情况下重力所做的功是内部功而不是外部功. 因为重力所做的功是内部的, 它并不会影响我们系统中的总能量

(K + U_{g})

我们可以用下面的公式来表示,

W_{e x t e r n a l} = Δ (K + U)_{s y s t e m}

首先我们会试图求出作用在水上的外部功

W_{e x t e r n a l}

. 点 1 和点 2 之间的水都不能做外部功因为这些水都是包含在我们能量系统里的. 唯一能直接对我们的系统做外部功的只有压强

P_{1}

和

P_{2}

, 如图所示. 在体积 1 左边的水

P_{1}

将会做正功因为力的方向与液体流动方向相同. 在体积 2 右边的水

P_{2}

做的是负功因为力的方向与液体流动方向相反.

为了简单起见, 我们只考虑体积 1 左侧的水的压力推动体积 1 经过了整个距离

d_{1}

. 假设液体是不可压缩的, 这一定会使得系统中其他部分的水都移动了同样的体积, 这也会导致体积 2 移动了距离

d_{2}

功可以通过

W = F d

求出. 我们可以将力的公式

F = P A

代入得到

W = P A d

. 所以, 点 1 附近的水对我们的系统所做的正功可以写作

W_{1} = P_{1} A_{1} d_{1}

, 点 2 附近的水对我们的系统所做的功可以写作

W_{2} = - P_{2} A_{2} d_{2}

在点 1 附近由压强产生的力

F_{1} = P_{1} A_{1}

推动液体的方向与液体的移动方向是一样的因此它对我们的系统所做的功是正的.

同样的, 在点 2 附近由压强产生的力

F_{2} = P_{2} A_{2}

推动液体的方向与液体的移动方向是相反的因此它对我们的系统所做的功是负的.

你可能还会好奇功的公式

W = F d c o s θ

里的

c o s θ

去哪了. 因为我们的压强所产生的作用力与液体流动方向要么相同的要么是相反的, 这一项

c o s θ

要么是

c o s (0) = + 1

要么是

c o s (180) = - 1

. 所以在我们的推导过程中我们直接手动计算了正负号而没有包括

c o s θ

把这些功的表达式代入我们功和能量公式

W_{n e t} = Δ (K + U)_{s y s t e m}

的左侧我们就会得到,

P_{1} A_{1} d_{1} - P_{2} A_{2} d_{2} = Δ (K + U)_{s y s t e m}

其中

A_{1} d_{1}

和

A_{2} d_{2}

一定是相等的因为它们表示的是点 1 附近和点 2 附近移动了的液体的体积. 如果我们假设液体是不可压缩的, 液体中各个地方移动的液体的体积必定是相同的, 包括接近顶部位置的. 所以,

V_{1} = A_{1} d_{1} = A_{2} d_{2} = V_{2}

. 我们就可以把体积简写成

V

因为体积相同. 这可以让我们把功和能量公式的左侧简化成,

P_{1} V - P_{2} V = Δ (K + U)_{s y s t e m}

等号左侧处理完毕了. 现在我们需要处理等号右侧. 这是推导中一个非常关键也非常微妙的部分. 记住我们的系统不仅包括点 1 附近和点 2 附近的水, 还包括了这两点之间的水. 我们要如何考虑整个巨大系统中所有的动能和重力势能的改变?

我们必须再做一个假设来完成推导. 我们假设液体的流动是稳定的. "稳定的流动" 的意思是液体在经过管子里的一个特定点时速度是不变的. 换句话说, 你如果盯着透明管道中任何一个特定的点, 你会看到时刻有新的水流过, 但是如果流动是稳定的, 那么所有水在经过那个特定点的时候的速度都是一样的.

不, 这并不能说明那一点. 水分子在整个管道中移动的时候速度仍然发生了变化. 而稳定的流动代表的是同一个层流中的水分子的速度变化是一样的.

如果流动不稳定, 经过管道的水分子的流速将会与之后经过管道的水分的流速不同. 这可能会在水流系统是由一个随时间变化压强的水泵所驱动的情况下发生.

那么稳定流动的假设是如何帮助我们求出巨大系统中液体的能量变化的? 如下图所示. 我们的能量系统由灰色部分组成 (体积 1, 体积 2, 以及它们之间的所有液体). 在第一张图中, 整个系统由一定的总能量

(K + U)_{i n i t i a l}

. 在第二张图中有功作用在了系统上, 系统获得了能量, 向右移动了, 并且现在拥有了与之前不同的总能量

(K + U)_{f i n a l}

. 但是注意, 如果假设流动稳定, 那么两条虚线之间的液体在做功之前和之后的能量是一样的. 在两条虚线之间水改变了位置和速度, 但是它的改变会使得它与之前在同一位置的水具有相同的速度 (比如

v_{a}

和

v_{b}

) 以及相同的高度. 我们的系统中唯一不同的就是体积 2 现在延伸到了管道中之前系统并没有占用的位置, 并且现在我们的系统中没有东西在占用之前体积 1 所占用的部分.

总的来说这也就意味着整个系统的能量变化可以通过只考虑两个端点的能量来得到. 也就是, 我们可以用做完功之后体积 2 中的动能和势能

(K_{2} + U_{2})

减去做完功之后体积 1 后面已经不存在了的动能和势能

(K_{1} + U_{1})

来得到能量变化量. 换句话说,

Δ (K + U)_{s y s t e m} = (K_{2} + U_{2}) - (K_{1} + U_{1})

我们可以用另一种方式来思考. 我们系统周围的水对我们的系统做了一些功. 这改变了我们系统的总能量. 但是如果你仔细观察液体的最终状态就可以很容易看出, 两根虚线之间的部分在做功之前和之后能量

E_{s a m e}

并没有改变(因为流动是稳定的). 这个能量

E_{s a m e}

在我们求出最终能量和初始能量的时候就会抵消因此我们只需要考虑两端的能量变化.

如果这对你来说仍然不是很好理解, 我会告诉你整个伯努利方程的推导过程可以通过不提及能量只用牛顿定律来得到. 计算步骤可能会有些麻烦, 但是概念上却没有什么跳跃, 最终你也会得到同样的结果.

把这个代入功和能量公式

P_{1} V - P_{2} V = Δ (K + U)_{s y s t e m}

的右侧我们就能得到,

P_{1} V - P_{2} V = (K_{2} + U_{2}) - (K_{1} + U_{1})

现在我们把动能公式

K = \frac{1}{2} m v^{2}

和重力势能公式

U_{g} = m g h

代入就会得到,

P_{1} V - P_{2} V = (\frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + m_{2} g h_{2}) - (\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + m_{1} g h_{1})

在这个等式中

P_{1}

和

P_{2}

分别代表了体积 1 和体积 2 中的液体压强. 变量

v_{1}

和

v_{2}

分别代表了体积 1 和体积 2 中液体的移动速度.

h_{1}

和

h_{2}

分别代表了体积 1 和体积 2 的高度.

但是因为我们假设液体是不可压缩的, 体积 1 和体积 2 中液体的质量必定是相同的

m_{1} = m_{2} = m

. 所以删去质量

m

的角标我们就会得到,

P_{1} V - P_{2} V = (\frac{1}{2} m v_{2}^{2} + m g h_{2}) - (\frac{1}{2} m v_{1}^{2} + m g h_{1})

我们可以让两边同时除以

V

并去掉括号,

P_{1} - P_{2} = \frac{\frac{1}{2} m v_{2}^{2}}{V} + \frac{m g h_{2}}{V} - \frac{\frac{1}{2} m v_{1}^{2}}{V} - \frac{m g h_{1}}{V}

因为质量除以体积就是移动的液体的密度

ρ = \frac{m}{V}

. 所以通过把

\frac{m}{V}

替换成

ρ

我们就能把上面的式子简化成,

P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2} - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} - ρ g h_{1}

现在, 我们只需要整理公式并把所有提到同一边或者同一个点的项放在等式的同一侧,

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}

最终, 我们就得到了完整公式. 这就是伯努利方程! 它所说的是如果你把层流中的任意两点的压力

P

加上动能密度

\frac{1}{2} ρ v^{2}

再加上重力势能密度

ρ g h

, 它们一定相等.

能量密度就是我们称呼

\frac{1}{2} ρ v^{2}

和

ρ g h

的因为它们是质量所拥有的能量除以质量所占的体积. 数学上来说能量和能量密度唯一的差别就在于公式中使用的不是质量

m

而是密度

ρ

动能密度 = \frac{\frac{1}{2} m v^{2}}{V} = \frac{1}{2} ρ v^{2}

势能密度 = \frac{m g h}{V} = ρ g h

物理上说, 差别在于能量密度告诉你的是空间中一个点的能量的密度, 而能量告诉你的是在一定体积的空间内所存在的能量多少. 你可以通过乘以或除以体积来得到其中的任何一个 (假设能量密度在我们考虑的空间内是均匀的).

伯努利方程可以被视为对于流动液体的一个能量守恒定律. 我们可以认为伯努利方程是以下事实的结果, 一个系统获得的任何多余的动能或势能是由另一个不剧烈的液体对这个系统做的外部功导致的. 你需要记住我们为了让这个推导成立做了许多假设. 我们必须假设液体是层流的并且没有耗散力, 不然的话那就会有热能产生. 我们必须假设层流, 不然的话我们假设中间部分的能量的抵消就不成立了. 我们必须假设液体是不可压缩的, 不然的话质量和体积就不一定相等.

因为

P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h

在层流中的任何一个点都是一样的, 伯努利方程的另一种写法是,

P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = 常值

这个常值对于不同的液体系统是不同的, 但是对于一个特定的稳定状态没有耗散力的层流液体,

P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h

在液体中的任何一个点都是相同的.

伯努利定律为什么是伯努利方程的一个结果?

我们需要注意伯努利定律其实包含在伯努利方程里. 如果我们先考虑,

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}

并假设液体的高度没有变化,

ρ g h

这一项就没有了.

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}

或者我们也可以写作,

P + \frac{1}{2} ρ v^{2} = 常值

这个公式表示的就是伯努利定律因为如果一个液体的速度

v

在层流中的一个特定区域内更高, 这个区域内的压强

P

一定更小 (也就是伯努利定律). 速度

v

的增加一定同时伴随着压强

P

的减小以保证这两项的和一直是常值.

用伯努利方程解决的问题是什么样子的?

例子 1: 根汁汽水运送蓝图

你拥有一家餐馆, 你正在研究一种向顾客输送饮料的新方法. 其中一个提议是用一根穿过整个餐馆的管道输送密度为

1, 090 \frac{千 克}{米^{3}}

的饮料. 管道的一个部分如下所示. 蓝图上说饮料在点 1 的速度和压强分别是

3.00 米/秒

和

12, 300 帕

. 点 2 的饮料比点 1 高

1.20 米

并且以

0.750 米/秒

的速度移动. 你还没有求出蓝图中点 2 的压强.

用伯努利方程求出点 2 的根汁饮料的压强.

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2} (首先, 从伯努利方程开始)

P_{2} = P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} - \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} - ρ g h_{2} (解出 P_{2} 的表达式)

现在我们需要选择一个

h = 0

的基准点. 我们选择点 1 的高度作为

h = 0

. 我们就会得到

h_{1} = 0

和

h_{2} = 1.2 米

. 代入这些高度,

P_{2} = P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g (0 米) - \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} - ρ g (1.2 米) (我们代入 h_{1} 和 h_{2} 的值)

我们可以去掉包含0的项并把剩下的项代入,

P_{2} = 12, 300 帕 + \frac{1}{2} (1, 090 \frac{千 克}{米^{3}}) (3.00 米/秒)^{2} - \frac{1}{2} (1, 090 \frac{千 克}{米^{3}}) (0.750 米/秒)^{2} - (1, 090 \frac{千 克}{米^{3}}) g (1.20 米)

P_{2} = 4, 080 帕 (计算出结果并庆祝一下)

注意: 我们知道这是点 2 的表压强, 而不是绝对压强, 因为我们代入的是点 1 的表压强. 如果我们想求出绝对压强那么我们可以在我们得到的值上加上大气压强

(1.01 \times 10^{5} 帕)

来得到.

例子 2: 喷泉设计

一个大酒店让你建造一座喷泉, 一根直径

15 厘米

的圆形水管在地下将水移动了

8.00 米

. 之后管道向上弯并通过一个直径为

5.00 厘米

的水管将水打出, 这段水管在地面上

1.75 米

, 速度为

32.0 米/秒

. 水的密度是

1, 000 \frac{千 克}{米^{3}}

这个喷泉地下的那部分水管里需要多少的表压?

这些伯努利方程的问题都很复杂所以我们应该先画一个图并选择两个关注点. (这个图并不成比例)

我们选择一个距离底部很近的点作为点 1, 因为我们想求这里的表压强, 然后我们选择距离顶部水出来的地方很近的点作为点 2 因为我们知道这一点的水的速度.

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2} (首先, 从伯努利方程开始)

P_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2} - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} - ρ g h_{1} (解出 P_{1} 的表达式)

我们不知道点 1 的水的速度. 我们在用伯努利方程之前需要先求出速度

v_{1}

再解出点 1 的未知压强.

我们可以通过使用连续性方程

A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}

因为水是不可压缩的. 我们知道一个圆柱水管的横截面

A = π r^{2}

所以把面积代入连续性方程我们可就会得到,

(π r_{1}^{2}) v_{1} = (π r_{2}^{2}) v_{2}

当我们解速度

v_{1}

的时候

π

都会互相抵消, 我们就剩下,

v_{1} = (\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}) v_{2}

把水管的半径代入我们就可以求出点 1 的速度,

v_{1} = \frac{(2.50 厘米)^{2}}{(7.50 厘米)^{2}} (32.0 米/秒) = 3.56 米/秒

因为半径的平方互相相处, 单位会互相抵消, 只会剩下一个单纯的比例再乘以速度

v_{2}

. 这个比例是不变的不管我们把不把半径单位都转换成米, 或都保持厘米.

事实上, 虽然我们讨论了这个问题, 我们甚至都不需要把直径转换成半径因为

d = 2 \times r

中的系数 2 也会抵消. 所以用速度

v_{2}

乘以直径平方的比例也会产生同样的结果.

现在我们有了点 1 的速度, 我们可以把它代入整理过的伯努利方程来得到,

P_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ (32 米/秒)^{2} + ρ g h_{2} - \frac{1}{2} ρ (3.56 米/秒)^{2} - ρ g h_{1} (我们代入了速度)

我们可以选择点 1 作为

h = 0

的基准线, 这会使得

h_{1} = 0 米

和

h_{2} = 8.00 米 + 1.75 米 = 9.75 米

把这些代入我们整理好的伯努利方程会使得

ρ g h_{1}

被消除 (因为它是0) 我们就会得到,

P_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ (32 米/秒)^{2} + ρ g (9.75 米) - \frac{1}{2} ρ (3.56 米/秒)^{2} (我们代入了 h 的值)

我们现在要做的就是求出点 2 的压强

P_{2}

. 我们将会声称点 2 的压强一定是大气压强因为水从这里进入大气. 这也是一个在很多伯努利方程问题中都需要的假设. 任何时候只要一个点暴露在大气中, 那一点的压强应该是大气压强. 我们可以在伯努利方程中使用大气压

P_{2} = 1.01 \times 10^{5} 帕

, 或者我们也可以用表压强

P_{2} = 0

(因为表压强测量的是压强高于大气压强多少). 任何时候如果用0我们的计算就会更简单所以我们选择

P_{2} = 0

. 这使得我们的整理过的伯努利方程变成,

P_{1} = \frac{1}{2} ρ (32 米/秒)^{2} + ρ g (9.75 米) - \frac{1}{2} ρ (3.56 米/秒)^{2} (我们代入了 P_{2} = 0)

现在我们可以代入水的密度

ρ = 1, 000 \frac{千 克}{米^{3}}

以及重力加速度的大小

g = + 9.8 \frac{米}{秒^{2}}

就会得到,

P_{1} = \frac{1}{2} (1, 000 \frac{千 克}{米^{3}}) (32 米/秒)^{2} + (1, 000 \frac{千 克}{米^{3}}) (+ 9.8 \frac{米}{秒^{2}}) (9.75 米) - \frac{1}{2} (1, 000 \frac{千 克}{米^{3}}) (3.56 米/秒)^{2}

P_{1} = 6.01 \times 10^{5} 帕 (计算出结果并庆祝一下)

注意: 我们所求出的压强是表压因为我们代入的是

P_{2} = 0

. 如果我们代入

P_{2} = 1.01 \times 10^{5} 帕

我们求出的就是点 1 的绝对压强.

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