体积流率是什么？

你有可能会听到体积流量这个词并觉得听起来无聊，但是体积流量让你活着。我过一会儿会告诉你这是为什么，但是我们首先要定义体积流量。一个流体的体积流量 $Q$‍ 被定义为单位时间里通过过流断面的流体体积。 过流断面这个词只是个高级的词汇，经常用来形容某种东西流过的断面，例如，以下图短划线中的圆断面。

因为体积流量考虑的是单位时间中通过一个断面的体积，体积流量的公式如下所示：

用国际单位制的单位，体积流量的单位是立方米每秒 ${\displaystyle \frac{{\text{m}}^3}{\text{s}}}$‍，因为它告诉你每秒有多少立方米的流体流过。

那么体积流量怎样让你活着？你的心脏每四秒大概输送跟易拉罐一样体积的血液

实际上，体积流量除了 $Q={\displaystyle \frac{V}{t}}$‍ 还有另一种有用的算法。

一根管子的一段的体积可以被写为 $V=Ad$‍，在此 $A$‍ 是流体的过流断面而 $d$‍ 是那段流体的宽度，如下图所示。我们可以用这个公式在体积流量中代替体积 $V$‍ 并的得到如下：

但是 ${\displaystyle \frac{d}{t}}$‍ 这个参数只是流体的体积的长度除以流体流过这段长度所花的时间，也就是流体的速度。因此，我们可以在前面的公式中把 ${\displaystyle \frac{d}{t}}$‍ 换成 $v$‍ 并得到

$A$‍ 是管子的一段的过流断面，而 $v$‍ 是流体在这段的速度。因此，我们得到一个新的体积流量算法 $Q=Av$‍，这经常比体积流量原来的定义更有用，因为面积 $A$‍ 容易算出。大部分管子都是圆柱体 — 也就是说其面积可用 $A=\pi r^2$‍ 来算出—而流体的速度 $v$‍ 在很多情况中都是需要计算的量。

但是要小心，现在我们有两个看起来很像的参数。体积被表达为大写字母 $V$‍，而速度被表达为小写字母 $v$‍。人们经常会把体积 $V$‍ 和速度 $v$‍ 的表达方式进行混合，因为它们看起来如此接近。

事实证明，大多数的液体几乎都是不可压缩的。也就是说，一升牛奶可以被放到不同形状的一升大小容器中。但是，无论你费多少力，你不能把那升牛奶挤进半升大小的容器。

因为液体是不可压缩的，流过一根管道的液体的任何部分都可以改变形状，但是一定会保持它的体积。即使改变管道的直径，这依然是成立的。在下图中，左边的液体的体积，$V$‍，在进入较窄的一段管道时会改变形状，但是会保持一样的体积，因为液体是不可压缩的。

液体在通过一根管子时必须保持体积，因为它们是近似不可压缩的。也就是说，在某一段时间内流进一根管子的液体的体积必须等于同一段时间内流出这个管子的液体的体积。例如，如果你在一个小时内为已经装满水的管子输送 2 m${}^3$‍ 的水，2 m${}^3$‍ 必须在同一个小时中流出。唯一其它的情况是液体在管子中压缩—这不应该发生—或者管子变大—如果管子是硬的，这不应该发生。记住，你不限于考虑管子的两端，这个原理在水流入和流出管子的任何两段的时候都是有效的。

因此，一个不可压缩流体在一根管子的任何点的体积流量 $Q$‍ 与在管子的任何点的体积流量是一样的。

这可以用以数学方式被表达为公式 $Q=\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{常}\mathrm{量}$‍，或者 — 选择管子上的任何两点—我们可以用数学声明，体积流量在任何两点是一样的，如下：

现在，如果我们代入公式 $Q={\displaystyle \frac{V}{t}}$‍。结果是：

或者，我们可以将体积流量另外的表达方式， $Q=Av$‍，代入公式 $Q_1=Q_2$‍，这就给我们：

这个公式被称为不可压缩液体的连续性方程—前面两个公式有时候也被称为连续性方程。这个方程其实没有它的名字那么神秘，因为我们计算的时候只要求体积在通过一根管子时是不可压缩的。

这个公式其实挺有用的，尤其是在此形式中，因为它表示 $Av$‍ 在管子中的值是不变的。也就是说，无论你选择在管子的哪里计算 $Av$‍，计算的值在同一个管子中永远会是一样的，如果流体是不可压缩的。

因此，如果一段管道的面积，$A$‍，减少了，这里的液体的速度，$v$‍，一定要增加，以保证乘积 $Av$‍ 不变。因此，流体到了管道更窄的地方会加速，在管道更宽的地方会减速。这也能在日常生活中看到 — 假设你挡住了一根水管的一部分，也就是减少面积，$A$‍。现在，水一定会以更高的速度，$v$‍，以保持体积流量，$Av$‍，不变。这就是为什么更窄的水龙头，因为它们减少面积（$A$‍)，会使流体在这一点的速度，$v$‍，增加许多。

一个爱喝汽水的有钱的女人修了一栋房子，里边有圆柱形的管子能把汽水从楼下运到楼上。汽水在楼下通过一个过流断面是 0.0036 m${}^2$‍ 的管子进入房子，在此汽水的速度是每秒 0.48 米。在有钱的女人的卧室中，汽水流出的水龙头部分的管子的横截面是 0.0012 m${}^2$‍。

注：这个问题还有一种解决方法，只要注意到管子在卧室的横截面， $A_2$‍，是管子在楼下的横截面, $A_1$‍, 的 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍。这就意味着汽水在卧室的管子中的速度必须是楼下的管子中的速度的三倍，以使因子 $Av$‍ 保持不变。

一位厨师要保证他总能有准备好的叶子奶，来做他的杯型蛋糕，因此他做了一个连接存储室和厨房的圆柱形管子。存储室的管子的半径是 4 厘米，在此椰子奶的速度是每秒 0.25 米。椰子奶在厨房流出管道的速度是每秒 1 米。

注：我们代入半径， $r_1=4\text{ cm}$‍，用的单位是厘米，这就意味着我们答案的单位也是厘米。