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课程 3: 倾斜的平面和摩擦力

斜面是什么?

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平面通常不是完全水平的。学习如何处理斜坡问题！

斜面是什么?

公园里的滑梯、陡峭的车道和运输卡车的装载坡道都是斜面的例子。斜面或 倾斜平面 是物体可以坐在上面、向上滑动、向下滑动、向上滚动或向下滚动的对角线表面。

斜面很有用, 因为它们可以减少垂直移动对象所需的力。它们被认为是六个经典的简单机械之一。

六个经典的简单机械是可以给一个人带来机械优势 (即减少执行任务所需的力量)的机械设备。六个简单机械分别是 杠杆、车轮和车轴、滑轮、斜面、楔形和螺丝。

简单机械很厉害, 因为它们可以减少移动物体所需的力的大小。例如, 移动的卡车坡道 (即斜面) 可以减少垂直移动重物所需的力。这听起来好到难以置信, 但也有一个小缺点。虽然你施加的力会减少 (通过使用坡道), 但你施加力量的距离会增加。

我们在处理斜面时如何运用牛顿第二定律？

在大多数情况下, 我们通过使用牛顿第二定律来解决涉及力的问题。但对于倾斜, 我们通常关注与倾斜表面平行的运动, 因此通常更有用的方法是运用牛顿的第二定律来解平行和垂直于倾斜表面的方向的力。

这意味着, 我们通常将使用牛顿的第二定律求垂直 $⊥$ ‍ 和 平行 $∥$ ‍ 于斜面的方向的力。

a_{⊥} = \frac{Σ F_{⊥}}{m} a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m}

由于质量通常与斜面表面平行滑动, 并且不会垂直于坡度表面移动, 因此我们几乎总是可以假定

a_{⊥} = 0

。

我们如何找到重力的 $⊥$ ‍ 和 $∥$ ‍ 分量？

由于我们将使用牛顿的第二定律来找到垂直于和平行于坡度表面的方向的力, 因此我们需要确定重力的垂直和平行分量。

重力的分量如下图所示。小心, 人们经常混淆他们是否应该使用

正弦

还是

余弦

计算分量。

人们常常很难理解重力是如何被分解成垂直和平行的成分的, 所以让我们一起一步一步来看看。

留意到重力 $F_{g} = m g$ ‍ 直指朝下。

重力可以分解成平行 $F_{g ∥}$ ‍ 和垂直 $F_{g ⊥}$ ‍ 的分量。

斜面左上方的角 $ϕ$ ‍与重力的平行分量 $F_{g ∥}$ ‍和重力 $m g$ ‍之间的角 $ϕ$ ‍相等。请注意我们实际上并不关心这个角, 但它让我们在下一步找到(我们的确关心的)第三个角。

斜面的两个角度 (直角和 $ϕ$ ‍) 与构成重力分量的三角形的角度相同。 $m g$ ‍ 和 $F_{g ⊥}$ ‍之间的底部角必须与斜面的底部直角 $θ$ ‍相同, 因为所有的直角三角形角度加起来是 $180^{o}$ ‍ (即如果两个直角三角形有两个相等的角度, 他们的第三个角一定相等)

现在我们知道 $m g$ ‍ 和 $F_{g ⊥}$ ‍之间的底部角, 我们可以使用 $sine$ ‍ 的定义来求解,

sin θ = \frac{对边}{斜边} = \frac{F_{g ∥}}{m g}

解

F_{g ∥}

, 得到

F_{g ∥} = m g sin θ

同样, 如果我们使用

cosine

的定义,

cos θ = \frac{邻边}{斜边} = \frac{F_{g ⊥}}{m g}

解

F_{g ⊥}

, 得到

F_{g ⊥} = m g cos θ

斜面上一个物体的正向力 $F_{N}$ ‍是什么?

正向力

F_{N}

始终垂直于施加力的表面。因此, 斜面将施加垂直于斜面的正向力。

如果没有垂直于坡度表面的加速度, 则在垂直方向上的力必须平衡。看下面显示的力, 我们看到, 正向力必须等于重力的垂直分量, 以确保在垂直方向的净力为零。

换句话说, 一个在斜面上保持静止或正在下滑的物体,

F_{N} = m g cos θ

我们可以运用牛顿第二定理来求垂直于斜面表面的力并且得到,

a_{⊥} = \frac{Σ F_{⊥}}{m} (对垂直方向运用牛顿第二定律)

0 = \frac{Σ F_{⊥}}{m} (a_{⊥} 为零因为没有垂直于斜面的运动)

0 = \frac{F_{N} - m g cos θ}{m} (代入 F_{N} 和 F_{g} 的垂直分量)

0 = F_{N} - m g cos θ (两边都乘以 m)

F_{N} = m g cos θ (解出 F_{N})

这表明, 坡度上的正向力等于

m g cos θ

(假设没有其他垂直力存在)。

涉及到斜面的问题是什么样的？

例 1: 滑雪橇

一个孩子骑着雪橇从雪山上滑下来。山与平地之间的角度是

θ = 30^{o}

, 雪橇和山之间的摩擦系数为

μ_{k} = 0.150

。儿童和雪橇一起的质量为

65.0 kg

。

雪橇下山的加速度是多少?

我们将从绘制力图开始。

我们可以在与坡度平行的方向上使用牛顿第二定律来得到,

a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m} (对平行方向使用牛顿第二定律)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - F_{k}}{m} (代入平行力)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - μ_{k} F_{N}}{m} (代入摩擦力公式)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - μ_{k} (m g cos θ)}{m} (代入 m g cos θ 求正向力 F_{N})

a_{∥} = \frac{m g sin θ - μ_{k} (m g cos θ)}{m} (消掉分子和分母中都有的质量)

a_{∥} = g sin θ - μ_{k} (g cos θ) (加速度与质量压根没关系！)

a_{∥} = (9.8 \frac{m}{s^{2}}) sin 30^{o} - (0.150) (9.8 \frac{m}{s^{2}}) cos 30^{o} (代入数值)

a_{∥} = 3.63 \frac{m}{s^{2}} (结果)

例 2: 陡峭车道

一个人正在盖房子, 想知道她能让自己的车道有多陡还能在上面停车而不滑溜车。她知道她的轮胎和混凝土车道之间的静态摩擦系数是

0.75

。

这个人可以使她的车道与水平面的最大角度是什么, 能仍然把她的车停在上面而不会溜车?

我们将对平行方向使用牛顿第二定律。

a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m} (对平行方向使用牛顿第二定律)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - F_{s}}{m} (代入平行重力分量与静态摩擦力)

0 = \frac{m g sin θ - F_{s}}{m} (因为汽车没有溜车, 所以加速度为零)

0 = m g sin θ - F_{s} (两边同乘 m)

0 = m g sin θ - F_{s max} (假设 F_{s} is 等于其的最大值 F_{s max})

0 = m g sin θ - μ_{s} F_{N} (代入最大静态摩擦力公式)

0 = m g sin θ - μ_{s} (m g cos θ) (代入斜面上正向力的表达式)

0 = m g sin θ - μ_{s} (m g cos θ) (两边同除 m g)

0 = sin θ - μ_{s} (cos θ) (角度与质量没有关系！)

sin θ = μ_{s} (cos θ) (解 sin θ)

\frac{sin θ}{cos θ} = μ_{s} (两边同除cos θ)

tan θ = μ_{s} (\frac{sin θ}{cos θ} 等于 tan θ)

θ = t a n^{- 1} (μ_{s}) (去掉左侧的tan)

θ = t a n^{- 1} (0.75) (代入数值)

θ = 37^{o} (结果)

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斜面是什么?

我们在处理斜面时如何运用牛顿第二定律？

我们如何找到重力的 ⊥‍ 和 ∥‍ 分量？

斜面上一个物体的正向力FN‍ 是什么?

涉及到斜面的问题是什么样的？

例 1: 滑雪橇

例 2: 陡峭车道

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我们如何找到重力的 $⊥$ ‍ 和 $∥$ ‍ 分量？

斜面上一个物体的正向力 $F_{N}$ ‍是什么?