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图像和焦距关系(公式证明)

图像和焦距关系(公式证明). Sal Khan 创建

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视频字幕

我们已经做过很多关于 凸透镜的视频 我们画出平行光线 然后穿过焦点 来算出物体的图像是什么样的 但是在这个视频中 我想做的是 找出物体到凸透镜的距离 图像到凸透镜的距离 和透镜的焦距 之间的关系 所以我们看看能不能做出来 为了不让你们痛苦的看着我画图 我提前把图画好了 所以我们可以设想 这个绿色的就是物体 这就是物体 这两个粉色的点就是焦点 这个距离是焦距 我一直这样做 从箭头的一端画平行线 一直画到凸透镜上 然后折射 所以它经过右边的焦点 然后到了这里 当我画出经过左边焦点 的光线 当它经过折射 就变成了平行光线 然后与之前光线相交 上面 这里 所以这就给了我们一种 图像看起来是什么样的的感觉 它是倒立的实像 这种情况下 它比原来物体大 我要做的是 找出这两个值的关系式 我看看能不能把它们标记出来 然后只要做一点几何和算术 来算出它们之间是否有代数关系 所以第一个数 物体的距离 这是从这到这的距离 或者我们可以在这里标记 因为已经画出来了 这是物体到透镜的距离 这是我们画的 这是平行光线 但是在它被折射之前 它传播了从物体到透镜这段距离 现在 图像到透镜的距离 就是这个 这段平行线传播的距离 所以这是图像到透镜的距离 那么我们还有焦距 焦距 就是这个距离 或者我们可以在这边看到 这也是焦距 所以我想找出一个关系式 要求出它 我在这里画几个三角形 所以我们能做的是 方法就是 我要找相似三角形 然后找出这三个之间 的关系或比例 所以我们找几个相似三角形 我能想到最好的办法是 把这个三角形重新画到这里 我把它翻转一下 我把这个同样的三角形 画到图的右边 如果我要画这个三角形 它看起来应该是这样的 我们弄清楚 这是这个三角形 我只是把它翻转了 所以如果我要确定 我们保持这是相同的一条边 如果这条边的长度是d0 或d0 怎么称呼都行 我们把它叫什么都行 那么上面这条边也是d0 我想这样做的原因就是 现在 我想做点有趣的事情 我可以让上面这个三角形 和下面我画的这个三角形有关系 我们能看出来 它们是相似的 它们有关 我们能求比例 然后 我能做的就是给你们展示 这个三角形和这个三角形相似 就得到更多一些比例式 然后 这些就有关联了 首先我们要证明的是 这些三角形确实是相似的 所以首先要明白的是 这里的这个角 一定等于这个角 有时候它们被叫做对角或对顶角 它们在相交直线的两边 这很有意思 所以它们是相等的 接下来 我们知道 这两条线是平行的 这条线和这条线是平行的 你们可以看一下 你们可以再看一下内错角 如果你看看这些角 这是平行线的截线 我们知道这个角 因为它们是内错角 这个角和这个角的值是相同的 它们都- 你们可以把这看做 两条平行线的截线 这是内错角 它们是相等的 现在 我们可以对这个角 和这个角做同样的结论 所以我们看到的是 这个三角形 和下面这个三角形的三个角相等 所以这两个三角形相似 它们是相似的 这实际上是对几何的复习 而不是光学 这是相似三角形 它们相似 因为它们相似 对应边的比例应该是相等的 所以d0对应于这个 它们是这个粉色角的对边 所以d0比d1等于 我把它写到这里 所以d0/d1 这是对应边的比例 就等于- 我在这里标记一下 这个比值就相当于 就是这条边 洋红色角的对边 与B这条边 的比值 同样 我们可以追踪- 因为B是下面的三角形 洋红色角的对边 这就是我们怎么知道了这条边 对应相似三角形上的那条边 它们都是洋红色角的对边 我们知道d0/d1=A/B 所以这很有趣 我们已经把 这两个与一些长度联系起来了 所以我们要把这两个 与焦距联系起来 为了联系它们 与焦距联系起来 我们可能想做的是 A和B A和焦距在同一个三角形上 所以我看一下这个三角形 我用一个好的颜色 所以我看一下这个三角形 我把它用绿色加亮 这个绿色的三角形 我们看一下 它与这个我也用绿色加亮的三角形比较 现在 我首先想给你们展示的是 它们也是相似三角形 这个角 和这个角是相等的 它们是相交线的对角 我们可以做同样的讨论 实际上 我们可以做很多讨论 其中一个 你们可以看到这是直角 这个角是直角 如果两个三角形的两个角相等 那么第三个角也相等 我们也可以这么说 我换个颜色 我不想用同一颜色重复表达 我们可以说这个和这个 是相同的 或者另一种说法是 它是这条线 这代表凸透镜 或者是平行于凸透镜的线 平行于这个物体 你们可以用其他方式做同样的讨论 另外一件事是 看 两个三角形的两个角相等 第三个角必然相等 现在 这三个角是相等的 这两个三角形是相似的 我们可以用同样方法 我们可以说A比B 记住A和B都是相似三角形 的斜边 我们可以说 A比B 我们可以说 这个底边的长度 这个底边长度是f 焦距 这是焦距 这个三角形中的f 对应于这个三角形中的这个长度 它们都是这个白色角的对边 所以f比上这个长度 这个长度是多少 这个长度是di(前文用的是d1) 但是这个长度是整个距离减去焦距 但是这个长度是di 减去焦距 所以A比B等于f比di减去焦距f 同样 这里我们得到了物体的距离 图像的距离 和焦距之间的关系 现在 我们要做一点算术计算 这个等于这个 这个等于这个 所以这个蓝色的式子一定等于洋红色的式子 现在 我们只要做一点算术计算 所以我们做一下 所以就有d0/di等于 焦距f和 像距减去焦距f的差 的比值 d0/di = f/(di-f) 所以我们把这化简一下 交叉相乘 我们用d0乘以这个数 就得到d0*di-d0*f 这是分配相乘 这是交叉相乘 也就是两边互相 乘以对面的分母 这就等于di*f 现在 方程两边加上 这一项 我换个中性色调的颜色 所以就有d0*di=di*f+d0*f 现在 我们能提出f 提出焦距 所以就得到d0*di=f(di+d0) 然后能做什么? 可以两边除以f 所以这就变成除以f 这就变成除以f 实际上 这个约掉了 我只要把这个重写一下 d0*di/f =di+d0 现在 方程两边除以d0*d1 这里约掉了 所以左边就剩下了 1除以焦距 就等于 我们可以把这分开 我们可以把分子分开 等于di/(d0di)+d0/(d0di) 但是这里 di约掉了 就剩了1 这里 d0约掉了 就剩了1 1除以物距 加上1除以像距 所以从开始 这是个完全有根据的公式 实际上 我们求出了想要的 但是这是个很整洁的公式 di或d0没有在这里重复 我们有了一个关于凸透镜的 焦距 物距 像距 之间的算术公式 不管怎样 得出的公式很简洁