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主要内容

质心是什么?

学习质心的定义,并学习如何计算它。

什么是质量中心?

质量中心(简称质心) 是相对于物体或者物体系统定义的位置。它是一个系统的所有部分根据质量进行加权的平均位置。
对于密度均匀的简单刚性物体,质心位于其几何中心。例如,均匀圆盘的质心位于其正中心。有时质心不在物体上。例如一个圆环的质心位于其中心,而其中心不在圆环上。
图例 1: 一些简单几何形状的质量中心(红点处)。
对于更复杂的形状,我们需要一个更普遍的质心的数学定义:它是 一个唯一位置,使得系统中所有部分的加权位置矢量总和为零。

质心有什么作用?

物体或系统的质心的有趣之处在于,物体上任何均匀力等效作用于这一点。此特性使得我们可以很容易地解决包含不规则形状的物体和复杂系统的运动的力学问题。
为了计算简便,我们可以假设一个奇怪形状的物体的质量全部集中在一个位于质心的极小的物体上。我们称这个虚构的物体为 质点
如果我们在一个刚性物体的质心推动该物体,那么这个物体将会像质点一样移动。无论其实际形状如何,它都不会绕任何轴旋转。如果物体在其它一点受到不平衡的力,那么它就会开始围绕质心旋转。

我们如何寻找任何物体或系统的质心?

一般来说,质心可以通过对指向系统中每个物体的位置矢量进行 矢量相加 来找出。一个可以让我们避免进行矢量运算的小技巧是分别找出质心在每个坐标轴上的位置。 即:
对于质心的 x 轴位置:
x=m1x1+m2x2+m3x3+m1+m2+m3+
同样的,y 轴位置:
y=m1y1+m2y2+m3y3+m1+m2+m3+
合在一起,它们提供了系统质心的完整坐标 (x,y) 。例如,考虑图二所示的三个密度均匀的扁平物体组成的系统。
图例 2: 一个由三个扁平物体组成的系统。
质心在 x 方向上的位置是:
14+16+2121+1+2=8.5
y 方向:
15+112+28.51+1+2=8.5
复杂的物体通常可以被表示为质量均匀的简单形状的集合。然后,每个组成形状可以被表示为位于其几何中心的质点。物体的中空部分甚至可以通过负质量来表示。
考虑图例 3a 所示的不规则形状的扁平均匀密度物体。
图例 3: (a) 一个不规则形状的扁平物体。(b) 物体被划分为简单的形状。
我们可以将这个物体分成四个矩形和一个圆形,如图例三所示。在这里我们只关心质心在图中的相对位置。这个材料具有均匀的密度,因此质量与面积成正比。为了简单起见,我们可以用“单位正方形”表示每个部分的质量,如图所示。
x 方向中,质量中心位于:
1610+524+127.5+1610+(7.1)4.516+52+12+167.1=6.6
注意,圆形中空部分的面积是 π1.527.1。它需要用负质量表示。
y 方向:
1613+527.5+127.0+162+(7.1)7.516+52+12+167.1=7.4

什么是重心?

重心 是重力等效作用于物体或系统的点。在大多数力学问题中重力场被认为是均匀的,因此重心与质心的位置完全相同。术语重心和质心往往可以互换使用,因为他们通常处在同一位置。

如何确定一个真实物体的质心位置?

有几个有用的实验可以用来寻找刚性物体的质心。
桌沿法(图例4)可用于寻找至少有一个平面的小型刚性物体的质心。在不转动物体的情况下将物体缓缓推向边缘。当物体悬空即将坠落时,在物体上画出与桌子边缘接触的线。将物体旋转90°,然后重复此过程。两条线的交点就是物体质心在桌子所在平面的质心位置。
图例 4: 用桌沿法寻找形状不规则物体的质心。
铅锤法(图例5)对于可以自由悬挂在一点的物体很有用。一个穿了线挂在墙上的不规则纸板就是一个很好的例子。纸板可以在重力作用下绕线孔自由旋转直到达到一个稳定的姿态。在针孔处用线悬挂一个重物(铅锤),在纸板上标记线的位置。扎一个新的针孔重新悬挂纸板并画线。然后,质心就位于两条线的交点下方。
图例 5:用铅锤法寻找形状不规则物体的质心。

质心与倾覆稳定性

质心的一个重要应用是确定物体在倾覆之前的最大倾斜角度。
图例6a 显示了一个卡车的横截面。卡车糟糕地在左侧装载了过多重物。卡车的质心用红点表示。从质心向下延伸的红线代表重力,重力全部沿这条线作用。
如果卡车倾斜的角度是 θt (如 图例6b 所示) ,那么卡车的所有重量都将由左车轮的最左边缘支撑。如果角度进一步增加。那么支撑点将移动到任何路面接触点之外,到时卡车一定会翻倒。此时角度 θt倾覆极限.
图例 6: 被错误装载的卡车的倾覆极限。
练习 1: 求出图7所示的均匀密度物体向右倾斜的倾覆极限。
图例 7: 练习1的翻倒物体。

质心参考系

物理学中 参考系 一词指的是被用于计算的坐标系。参考系有一组轴和一个原点(零点)。在大多数问题中选取相对实验室静止的坐标系,并且原点选取最方便计算的点(可以任意选取)。这就是所谓的 实验室参考系.。在经典物理学中。也可以使用其他任何参考系,并且物理学定律也理应成立。这包括选取相对于实验室运动的参考系。
质点的一个非常有用的性质是它可以当作一个系统的运动中的参考系的原点。这个参考系有时被称为 质心参考系(COM 系)。质心参考系在解决碰撞问题中特别有用。事实证明,在质心参考系中测量的的系统的 动量 永远是零。这意味着在质心参考系中的计算通常会比实验室参考系的计算简便得多。让我们来考虑一个简单的例子:
设想两个小车在轨道上同向运行,如 图例9 所示。左侧的小车运行得更快,所以两个小车不可避免地会发生碰撞。假设碰撞是弹性的。碰撞后小车的速度分别是多少?
图例 9:两个运动的小车即将碰撞:在质心参考系中分析碰撞将非常简单。

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