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课程: 物理 > 单元 6

课程 2: 弹性碰撞和非弹性碰撞

什么是弹性碰撞和非弹性碰撞?

什么是弹性碰撞和非弹性碰撞?

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碰撞可以是弹性的，也可以是非弹性的。了解在弹性碰撞和非弹性碰撞中什么是守恒的，什么是不守恒的。

弹性碰撞是什么?

弹性碰撞是指在碰撞过程中系统的动能没有净损失的碰撞。动量和动能在弹性碰撞中都是守恒量。

假设两辆相似的轨道小车以相同的速度向对方行驶。它们相互碰撞，相互反弹，速度没有损失。这种碰撞是 完全弹性的 ，因为没有能量损失。

实际上，完全弹性碰撞的例子并不是我们日常经验的一部分。气体中原子之间的一些碰撞是完全弹性碰撞的例子。然而，在力学中有一些碰撞的例子，能量损失可以忽略不计。这些碰撞可以被认为是 弹性的，即使它们不是完全弹性的。刚性台球碰撞或则球在牛顿摇篮就是两个这样的例子。

为什么我们要把碰撞近似为完全弹性的?

考虑到我们可能遇到的任何力学问题都不涉及完全弹性碰撞，这个概念似乎没有什么实际用途。然而，在实践中，它通常是非常有用的。这是因为动能守恒的要求为运动方程提供了额外的约束。这使我们能够解决那些本来会有太多未知数的问题。通常情况下，解决方案将是相当充分的，因为碰撞是“足够接近”完美的弹性。

假设轨道上的两辆小车(a和B)发生正面弹性碰撞。我们想知道两辆小车的最终速度(下标f)，但是只给出了初始速度

v_{A i}

和

v_{B i}

。应用动量守恒，我们可以看到我们有一个方程有两个未知数，

v_{A f}

和

v_{B f}

m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} = m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{B f}

因为动能也是守恒的，我们同时有另一个约束条件:

\frac{1}{2} m_{A} v_{A i}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B i}^{2} = \frac{1}{2} m_{A} v_{A f}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B f}^{2}

由于我们现在有两个带有两个未知数的方程，我们知道我们可以用联立方程来确定两个速度。

解这些方程有点乏味。现在，我们简单地陈述一下结果:

v_{A f} = (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

v_{B f} = (\frac{2 m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{m_{B} - m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

来自动量守恒:

m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} = m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{B f}

来自动能守恒:

\frac{1}{2} m_{A} v_{A i}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B i}^{2} = \frac{1}{2} m_{A} v_{A f}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B f}^{2}

对动能方程进行简化和重新排列后:

m_{A} (v_{A i}^{2} - v_{A f}^{2}) = m_{B} (v_{B f}^{2} - v_{B i}^{2})

利用二项式分解的方法，可以写成

m_{A} (v_{A i} - v_{A f}) (v_{A i} + v_{A f}) = m_{B} (v_{B f} - v_{B i}) (v_{B f} + v_{B i})

现在回到动量守恒方程，它可以写成类似的形式

m_{A} (v_{A i} - v_{A f}) = m_{B} (v_{B f} - v_{B i})

现在把这两个方程相除得到一个简单的结果

v_{A i} + v_{A f} = v_{B f} + v_{B i}

或

v_{B f} = v_{A i} + v_{A f} - v_{B i}

现在我们可以把它代入动量守恒的原始方程。我们可以把所有的

V_{A f}

项放在等式的右边:

\begin{aligned} m_{A} v_{A f} & = m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} - m_{B} (v_{A i} + v_{A f} - v_{B i}) \\ = m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} - m_{B} v_{A i} - m_{B} v_{A f} + m_{B} v_{B i} \\ m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{A f} & = m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} - m_{B} v_{A i} + m_{B} v_{B i} \end{aligned}

提出速度就得到:

(m_{A} + m_{B}) v_{A f} = (m_{A} - m_{B}) v_{A i} + 2 m_{B} v_{B i}

可以重新排序，给出

v_{A f}

的最终结果

v_{A f} = (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

现在我们可以把这个代回我们之前除法的结果:

\begin{aligned} v_{B f} & = v_{A i} + v_{A f} - v_{B i} \\ = v_{A i} + (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i} - v_{B i} \end{aligned}

现在我们可以把所有的速度项组合起来，然后把它们放在质量和的公分母上:

v_{B f} = \frac{(m_{A} + m_{B}) + (m_{A} - m_{B})}{m_{A} + m_{B}} v_{A i} + \frac{2 m_{B} - (m_{A} + m_{B})}{m_{A} + m_{B}} v_{B i}

可简化为最终形式:

v_{B f} = (\frac{2 m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{m_{B} - m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

关于这些解有趣的是，这些适用于不同正面碰撞构型的极限情况。这些可以帮助我们直观地理解在诸如牛顿摇篮演示中的弹性碰撞的情况下会发生什么。

物体A与静止的等质量目标B碰撞:

v_{A f} = 0

v_{B f} = v_{A i}

撞击物体停止，目标获得与撞击物体相同的速度。

这正是我们在牛顿摇篮里看到的那种相互作用。当一个球在摇篮的一边摆动时，总是有一个球从另一边出来。原则上，动量也可以守恒，如果有两个球出来，每个都有原来速度的一半。然而，碰撞(大部分)是弹性的。确保动量和动能守恒的唯一方法是只有一个球出来。

物体A与质量相等的物体b碰撞。物体有相等但方向相反的速度。
$v_{A f} = v_{B i}$ ‍, $v_{B f} = v_{A i}$ ‍

这两个物体相互弹跳，交换速度。有趣的是，这个结果也适用于动量相等但相反的两个物体碰撞:物体会交换动量。这是一个非常有用的结果，它使我们可以简化复杂的弹性碰撞问题。我们关于质心的文章中有一个例子，它利用这一事实简化了与两个运动物体的弹性碰撞的计算。

一个较重的物体与一个静止的较轻的物体碰撞。

这个重物体的最终速度 趋向于 它的初速度。这很直观;轻的物体对重的物体几乎没有影响。

一个轻的物体与一个静止的重得多的物体碰撞。

轻的物体从目标上弹回，保持相同的速度但方向相反。沉重的目标仍然静止不动。

练习1a: 一名羽毛球运动员挥动球拍来发球。在击球的瞬间之前，高速相机测量到球拍的速度是

v_{r} = 20 m / s

。在碰撞后，你预计羽毛球的速度大概是多少?

练习1b: 如果球拍的质量为

m_{r} = 100 g

，球的质量为

m_{s} = 5 g

，假设发生弹性碰撞，计算出准确的速度

v_{s}

。

什么是非弹性碰撞?

非弹性碰撞是一种动能损失的碰撞。在非弹性碰撞中，系统的动量是守恒的，而动能不是。这是因为动能转移到了别的地方。热能、声能和材料变形可能是罪魁祸首。

假设两辆相似的轨道小车正朝对方行驶。它们相互碰撞，但由于电车装有磁力耦合器，它们在碰撞后结合在一起，成为一个连接的物体。这种碰撞是 完全非弹性 的，因为它失去了 最大可能 的动能。这并不意味着最终动能必然为零；动量必须保持不变。

在现实世界中，大多数碰撞介于完全弹性和完全非弹性之间。一个球从一个表面以上的高度

h

落下，通常会反弹到低于

h

的高度，这取决于球的硬度。这种碰撞简单地称为非弹性碰撞。

有没有完全非弹性碰撞的例子?

弹道摆 是一种发生非弹性碰撞的实用装置。直到现代仪器的出现，弹道摆被广泛地用来测量弹丸的速度。

在这个装置中，一枚炮弹被发射到一个悬挂的沉重的木块上。木块最初是固定的。在碰撞之后，弹丸被嵌入到块中。一些动能转化成热，声音，用来使物体变形。然而，动量仍然是守恒的。因此，块以一定的速度摆动。碰撞后，块体表现为一个钟摆，其中总机械能守恒。因此，我们可以利用最大摆高来确定物体碰撞后的动能，然后利用动量守恒可以求出弹丸的初始速度。

我们知道在这个碰撞中只有动量是守恒的，所以碰撞前的弹丸动量一定等于碰撞后弹丸-木块系统的动量。这里我们用下标B表示木块 (block)，下标P表示弹丸 (projectile)。

v_{B}

是木块在碰撞后的速度。

m_{P} v_{P} = (m_{B} + m_{P}) v_{B}

重新排列后:

v_{B} = \frac{m_{P} v_{P}}{m_{P} + m_{B}}

我们知道碰撞后，子弹系统的机械能是守恒的，所以如果物体在重力加速度

g

作用下上升到最大高度

h

，则:

\frac{1}{2} (m_{P} + m_{B}) v_{B}^{2} = (m_{P} + m_{B}) g h

重新排列后:

v_{B}^{2} = 2 g h

将之前的动量守恒式代入物体的初始速度

\frac{m_{P} v_{P}}{m_{P} + m_{B}} = \sqrt{2 g h}

所以在最后重新排列之后:

v_{P} = \frac{m_{P} + m_{B}}{m_{P}} \sqrt{2 g h}

练习2a:假设一个10克的火枪子弹被发射到一个1公斤的物体上，这个物体是弹道摆锤装置的一部分。它摆动到0.3米的高度。球的初速度是多少?

练习2b:假设前面练习中的滑膛枪子弹被质量为初始速度的两倍的子弹所替代。用同样的仪器做这个实验安全吗?你会期待同样的结果吗?

因为子弹的动量和毛瑟枪子弹的动量是一样的，所以我们可以期待同样的偏转。重新排列前面的表达式，使

h

成为主题，

h = \frac{1}{2 g} {(\frac{m_{P} v_{P}}{m_{P} + m_{B}})}^{2}

证明了这是真的，在一定程度上，物体的质量比子弹的质量大得多。然而，我们应该认识到，现在块体中必须耗散的动能是原来的两倍。这意味着使用同一个块不一定是安全的;它可能会不可预测地爆炸。

什么是恢复系数?

恢复系数是一个介于0和1之间的数字，它描述了在完全非弹性(0)和完全弹性(1)之间的相互作用。

对于从固定目标弹回的物体，恢复系数为最终的

v_{f}

与初始的

v_{i}

速度的比值，即:

C_{R} = \frac{v_{f}}{v_{i}}

普通运动球的恢复系数范围为:木表面板球的恢复系数为0.35，高尔夫球与钢靶[1]的恢复系数为0.9。台球的恢复系数可达0.98[2]。

弹性碰撞和非弹性碰撞，哪一种更具破坏性?

这取决于你担心的是什么——车辆还是乘员!

这取决于你担心的是什么——车辆还是乘员!假设一辆汽车与另一物体发生弹性碰撞。汽车必然会反弹。当车辆反弹时动量的变化比等效非弹性碰撞时要大。因此，对乘客的作用力更大，这显然对乘客更不利。另一方面，由于它是弹性碰撞，在变形过程中不会耗散能量。因此，对车辆结构的损害将减至最低。

现代车辆的设计目的是在发生事故时利用非弹性碰撞和弹性碰撞。车辆的车架设计是为了在碰撞中吸收能量，通过在车辆结构中内置的 变形带 。然而，车内的乘客舱设计得很坚固，因此对乘客的伤害被降到最低。

参考文献

[1] A. Haron和K. A. Ismail 2012运动球恢复系数:《IOP会议系列:材料科学与工程》第36卷第1期中的正常跌落试验。

[2] Mathavan,S.杰克逊(Jackson, M.R.)和帕金 R.M, 2010。缓冲冲击下台球动力学的理论分析。“机械工程师学会学报，C部分:机械工程科学杂志”，224(9)，页1863 - 1873

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