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课程: 物理 > 单元 6

课程 1: 动量和冲量

什么是动量和冲量?

学习动量和冲量是什么，以及它们与力的关系。

动量是什么?

动量是我们在日常生活中经常听到的一个口语化的词。我们经常听到运动队或政治候选人 "势头很大"。在这种情况下, 说话者通常的意思是暗示团队或候选人最近取得了很大的成功而使对手很难改变自己的轨迹。这也是动量在物理学意义的本质, 尽管在物理中我们需要更加的精确。

动量是对运动中质量的测量: 多少的质量运动多少。它通常被符号

p

表示。

顾名思义，

p = m \cdot v .

其中

m

是质量，

v

是速度。动量的标准单位是

kg \cdot m / s

, 动量始终是一个向量。这种简单的关系意味着, 将物体的质量或速度增加一倍, 动量也会增加一倍。

动量的有用之处在于它与力的关系。你可能还记得, 运动学方程里速度变化

Δ v

也能被写为

a \cdot Δ t

。

然后，我们可以看到，加速后动量的任何变化都可以写成

\begin{aligned} Δ p & = m \cdot Δ v \\ = m \cdot a \cdot Δ t \\ = F \cdot Δ t \end{aligned}

冲量是什么?

冲量是一个术语, 它量化了力随着时间的推移而作用的整体效果。它的符号为

J

, 并以牛顿-秒表示。

对于一个不变的力，

J = F \cdot Δ t

。

正如我们前面所看到的, 这正好相当于动量的变化

Δ p

。这种等价被称为 冲量-动量定理。由于冲量-动量定理, 我们可以在力如何在物体上的作用与物体的运动之间建立直接的联系。

冲量之所以重要和有用, 原因之一是在现实世界中, 力量往往不是不变的。由于人和发动机等因素造成的力量往往会随着时间的推移从零开始积累, 可能会根据许多因素而有所不同。直接计算所有这些力量的总体效果将是相当困难的。

当我们计算冲量时, 我们是在把力乘以时间。这相当于找到力-时间曲线下方的区域。这很有用--因为对于一个复杂的形状 (可变力), 和一个简单的四边形 (恒力) 来说找到下方的区域一样简单。只有总体的 净冲量 才是理解物体在冲量作用后的运动的问题的关键所在。

冲量对于一个系统来说既是外部的也是内部的概念也是理解动量守恒的根本。

空间中的动量

大多数人都看过宇航员在轨道上工作。它们似乎毫不费力地推动周围自由漂浮的物体。由于宇航员和他们所处理的物体都在自由落体状态, 他们不需要与重力相抗衡。然而, 较重的运动物体仍然拥有与地球上相同的动量, 改变这种动量也同样困难。

假设在空间站上发生紧急情况, 航天员需要手动将一个自由漂浮的 4, 000 千克太空舱移出对接区。在地球上, 航天员知道她可以将 5 0 千克的重物举过头顶 3 秒。她能使太空舱移动多快？

我们首先计算宇航员可以应用的总冲量。请注意, 在这两种情况下, 航天员都是垂直推的, 所以我们不需要跟踪力的方向。

\begin{aligned} J & = (m g) \cdot Δ t \\ = 50 kg \cdot 9.81 m / s^{2} \cdot 3 s = 1471.5 Ns \end{aligned}

而且, 通过冲量-动量定理, 我们可以找到航天器的速度:

\frac{1471.5 Ns}{4000 kg} = 0.37 m / s

比冲是什么?

比冲-

I_{S P}

--是一种通常用于产生推力的发动机的测量规范。喷气发动机和火箭发动机是两个常见的例子。在这种情况下, 比冲是衡量使用燃料产生推力的效率的指标, 也是这种发动机最重要的规格之一。

在物理中使用“比” (specific) 这个前缀时, 它的意思是 "相对于" 特定的数量。例如: 比重和比热容是两个例子。比冲是相对于地球上用于产生冲量的燃料的重量。

I_{SP} = \frac{F \cdot Δ t}{m_{fuel} g}

因为我们把一个冲量除以力--由于地球引力对燃料的力--力单位抵消, 而比冲的单位为秒。

火箭的比冲可能为300秒。这意味着它可以使用重达 1 N 的燃料在300s 内产生 1 N 的推力。实际上, 火箭可能有一些最小的推力, 比如 100 N。在这种情况下, 它可以使用重量为 1 N 的燃料产生3秒的 100 N 推力。

飞机的冲量

一架波音747飞机有四个引擎, 每个引擎可以产生最大 250kN 的推力。飞机需要大约30秒达到起飞速度。引擎在起飞时产生的推力如下图所示。

练习 1a: 飞机在达到起飞速度方面产生的总冲量是多少?

通过在力-时间曲线下找到区域, 我们可以找到发动机的总冲量。在本例中, 由绘图网格线制作的每个正方形代表 10 kN。我们可以计算曲线下的方块总数。这是最容易做到的, 将绘图划分为矩形块和三角形块。

根据您的计数方式, 曲线下的面积约为300个正方形。所以总冲量是

300 \cdot (10 kN \cdot s) \cdot 4 个 引 擎 / 飞 机 = 12000 kN \cdot s = 12 MN \cdot s

练习 1b: 已知喷气发动机的比冲约为6000秒。为了使飞机达到起飞速度, 燃烧了多少千克燃料?

参考文献

Data from (a) W.A. Fasching 9/1979 NASA-CR-159564 CF6 Jet Engine Performance Improvement Program (b) Project for the Sustainable Development of Heathrow, Ch 3 – Emission Sources. 7/2006.

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