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课程: 物理 > 单元 6

课程 1: 动量和冲量

什么是动量守恒?

学习动量守恒是什么以及如何使用它。

动量守恒定律是什么?

在物理学中，守恒一词指不会改变的东西。这意味着在等式中代表守恒量的变量是不会改变的。它在事件之前和之后都具有相同的值。

物理学中有许多守恒量。它们对于在原本非常复杂的情况下进行预测通常非常有用。在力学中, 有三个基本量是守恒的。分别是动量、能量和 角动量。动量守恒主要用于描述物体之间的碰撞。

就像其他守恒原则一样, 有一个条件: 动量守恒只适用于物体的 孤立系统中。在这种情况下, 孤立系统是指没有外部的力量作用的系统--即没有 外部冲量。这意味着在两个对象之间碰撞的实际示例中, 我们需要包含对象和在系统中的任何时间长度内对任何对象施加力的任何其他对象。

如果下标

i

和

f

表示系统中对象的初始和最后动量, 则动量守恒原理写成

p_{1 i} + p_{2 i} + \dots = p_{1 f} + p_{2 f} + \dots

为什么动量是守恒的？

动量的守恒其实是牛顿第三定律的直接结果。

考虑两个对象 (对象 A 和对象 B) 之间的冲突。当两个物体碰撞时, 因为对象B, 对象A上会有一个力—

F_{AB}

—但由于牛顿的第三定律, 因为对象A, 在对象B上有一个相同的力

F_{BA}

。

F_{AB} = - F_{BA}

当物体接触时, 力在物体之间起作用。对象接触的时间长度—

t_{AB}

和

t_{BA}

—取决于具体情况。例如, 两个粘糊糊的球比两个台球接触的时间要长。但是, 两个球的接触的时间必须相等。

t_{AB} = t_{BA}

因此, 对象 a 和 b 所经历的冲量在大小上必须相等, 在方向上必须相反。

F_{AB} \cdot t_{AB} = - F_{BA} \cdot t_{BA}

如果我们记得, 冲量相当于动量的变化, 那么, 它的对象的动量的变化是相等的, 但在相反的方向。这可以等价地表示为动量为零的变化之和。

\begin{aligned} m_{A} \cdot Δ v_{A} & = - m_{B} \cdot Δ v_{B} \\ m_{A} \cdot Δ v_{A} + m_{B} \cdot Δ v_{B} & = 0 \end{aligned}

动量守恒有什么有趣的地方？

关于动量守恒, 至少有四件事情是有趣的--有时甚至是违反直觉的:

动量是一个向量。因此, 我们需要使用向量加法来求和构成一个系统的多个实体的动量。考虑一个由两个类似物体组成的系统, 以同样的速度在相反的方向上相互移动。有趣的是, 对立面定向向量抵消, 因此整个系统的动量为零, 尽管这两个对象都在移动。
使用动量守恒分析碰撞特别有趣。这是因为碰撞通常发生得很快, 因此与交互对象碰撞的时间很短。较短的相互作用时间意味着因为外部力(例如摩擦力)使得冲量, $F \cdot Δ t$ ‍, 实际上非常小。
测量和跟踪动量往往很容易, 即使在有许多对象的复杂系统中。考虑两个冰球之间的碰撞。碰撞是如此强烈, 它将其中一个冰球打断成两块。动能很可能在碰撞中不守恒, 但动量将被守恒。
只要我们知道碰撞发生后所有碎片的质量和速度, 我们仍然可以用动量守恒来了解情况。这很有趣, 因为相比之下, 在这种情况下, 几乎不可能使用能量守恒。要弄清楚到底在打破冰球方面做了多少功是非常困难的。

与 "不可移动" 对象的冲突很有趣。当然, 没有一个物体是真正不可移动的, 但有些物体太重了而看起来不可移动。以一个有弹性的质量球 $m$ ‍ 的情况下, 以 $v$ ‍ 的速度向砖墙移动。它击中墙壁, 并以 $- v$ ‍的速度反弹。这堵墙很好地附着在地球上, 不会移动, 但由于速度从正向负, 球的动量已经改变了 $2 m v$ ‍。

如果动量是守恒的, 那么地球和墙的动量也必须改变

2 m v

。我们只是没有注意到这一点, 因为地球比弹力球重了很多。

利用动量守恒可以解决什么样的问题?

练习 1a: 任何看过海盗电影的人都应该熟悉大炮的后坐力。这是动量守恒中的一个经典问题。考虑一个 500 公斤的轮式大炮从船上水平发射一个2公斤的炮弹。球以200 m/s的速度移动。因此, 后坐力使大炮以什么速度后退?

练习 1b: 假设大炮以

α = 30^{\circ}

水平角开火。在这种情况下, 后坐速度是多少？额外的动力去了哪里?

因为大炮只能沿着船的甲板滚动, 我们只对动量的水平分量感兴趣。绘制三角形和使用三角学可以让我们找到速度

v_{h}

的水平分量。

\begin{aligned} v_{h} & = v_{b} \cdot \cos (α) \\ = 173 m / s \end{aligned}

然后, 我们可以像以前一样继续:

\begin{aligned} \frac{m_{b} v_{h}}{m_{c}} & = - v_{c} \\ \frac{2 kg \cdot 173 m / s}{500 kg} & = - 0.69 m / s \end{aligned}

动量的垂直部分瞬间将船推入水中。

练习 2a: 一个高尔夫球杆头的质量

m_{c} = 0.25 kg

被用来击打一个固定的质量为

m_{b} = 0.05 kg

的高尔夫球。高速视频显示, 球杆在触球时, 速度为

v_{c} = 40 m / s

。它保持与球接触

t = 0.5 ms

; 之后球速为

v_{b} = 40 m / s

。球杆击球后的移动速度有多快？

练习 2b: 上一问中高尔夫球在球杆上施加的平均力是多少?

我们知道, 球杆在击球时速度变化了8 m/s, 所以我们可以找到加速度:

\begin{aligned} a & = \frac{Δ v}{Δ t} \\ = \frac{32 \frac{m}{s} - 40 \frac{m}{s}}{0.5 \cdot 10^{- 3} s} \\ = \frac{- 8.0 m / s}{0.5 \cdot 10^{- 3} s} \\ = - 16 \cdot 10^{3} m / s^{2} \end{aligned}

因此, 我们知道的力是

\begin{aligned} F & = m_{c} a \\ = (0.25 kg) (- 16 \cdot 10^{3} m / s^{2}) \\ = - 4.0 kN \end{aligned}

一个小高尔夫球能发挥出如此大的力量, 这或许会让人感到惊讶。力也通过一个非常小的接触区域施加, 使压力非常高。这就是为什么高尔夫球和球杆需要被做的如此坚固的原因。

练习 3: 假设一个100千克重的橄榄球运动员在溜冰场暂歇。他的一个朋友以25 m/s的速度向他扔去一个0.4千克的橄榄球。他稳稳接到了并以20 m/s的速度丢回。在他扔球后, 运动员的速度是多少?

在这个问题中, 所有的运动都接近于地面, 所以我们可以使用动量的标量形式, 并将正速度定义为从朋友到运动员的方向。在这里, 我们将使用下标

b

和

p

表示球和和

i

和

f

代表球员。我们将首先写下事件前后的动量总和:

\begin{aligned} m_{b} v_{bi} + m_{p} v_{pi} & = m_{b} v_{bf} + m_{p} v_{pf} \\ m_{b} (v_{bi} - v_{bf}) & = m_{p} v_{pf} \end{aligned}

在输入数字时, 我们需要确保球的最终速度处于负方向。

\begin{aligned} v_{pf} & = \frac{m_{b}}{m_{p}} (v_{bi} - v_{bf}) \\ = \frac{0.4 kg}{100 kg} (25 m / s + 20 m / s) \\ = 0.18 m / s \end{aligned}

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