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课程: 物理 > 单元 1

课程 3: 加速度

什么是加速度和时间图像？

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看看我们可以从与加速度和时间相关的图中学到什么。

纵轴在加速度图上表示什么?

纵轴表示物体的加速度。

例如，当你获得了下图在某个特定时间的数值，你得到了那个瞬间以米每秒的平方为单位的加速度。

尝试在下图中水平滑动圆点，选择不同的时间，看看加速度（简写为 Acc）是如何变化的。

概念检查： 根据上图，在

t = 4 s

时的加速度是多少?

在加速度图中，斜率代表什么?

加速度图的斜率表示急动度（又称加加速度）。急动度是加速度的变化率。

对于一个加速度图，斜率可以从

斜率 = \frac{垂直变化（rise）}{水平变化（run）} = \frac{a_{2} - a_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{Δ a}{Δ t}

得到，如下图所示。

这个斜率代表加速度的变化率，被定义为急动度。

急动度 = \frac{Δ a}{Δ t}

急动度（jerk）的名字听起来很奇怪，但它很适合不平稳运动（jerky motion）。如果在一次骑行中，加速度在短时间内增加和显著减少，运动会变得急促（jerky），你必须不断地用你的肌肉施加不同的力量来稳定身体。

为了完成这一节，我们用下面显示的示例图来可视化一下急动度。水平滑动圆点，看看斜率（即急动度）在不同的时间点是什么样子。

概念检查： 对于上面的加速度图，在

t = 6 s

时急动度是正的，负的，还是零？

在加速度图中，面积代表什么?

加速度图下的面积表示速度的变化。换句话说，在一定时间间隔内，加速度图下的面积等于该时间间隔内速度的变化量。

面积 = Δ v

理解它最简单的方法是思考下方的在 9 s 时间段中拥有恒定加速度 4

\frac{m}{s^{2}}

的例图。

如果我们在加速度的定义的两边，

a = \frac{Δ v}{Δ t}

，同时乘以时间的变化量

Δ t

，我们会得到

Δ v = a Δ t

。

代入加速度 4

\frac{m}{s^{2}}

和时间变化量 9 s，我们可以求出速度的变化量：

Δ v = a Δ t = (4 \frac{m}{s^{2}}) (9 s) = 36 \frac{m}{s}

用时间变化量乘以加速度相当于求线下的面积。如图所示线下的面积是矩形。

面积可以通过将高度和宽度相乘得到。这个矩形的高度是 4

\frac{m}{s^{2}}

，宽度是 9 s。所以求面积相当于求速度的变化量。

面积 = 4 \frac{m}{s^{2}} \times 9 s = 36 \frac{m}{s}

任何一段时间的加速度图下的面积都给出在那段时间上速度的变化量。

问得好。我们只证明了 在恒定加速度 情况下一定时间间隔的加速度图下的面积给出了该时间间隔的速度变化，但任何加速度图下的面积都会给出速度变化量，即使加速度不是恒定的。

原因是加速度图下的面积可以被分解为许多非常窄的小矩形，如下图所示。如果矩形的宽度足够小，加速度可以被粗略地视为恒定的。用高度乘以宽度会给出每个小时间间隔内的面积和速度的变化量，

Δ v = a Δ t

。把所有的矩形的面积相加粗略地给出曲线下的总面积和给定时间间隔内的总的速度变化量。

如果矩形的宽度无穷小，矩形面积的和就是精确的曲线下的面积以及精确的速度变化量。所以任何加速度图下的面积都给出了速度变化量。如果这个讨论听起来像是数学巫术，这大概是因为这个证明的合理推导需要微积分——微积分中的积分让你能求出曲线下的面积。

注意：当求解或回答一个问题时，我们不一定真的需要通过把曲线分解为矩形来求面积。因为我们知道面积等于速度的变化量，我们可以自由选择最方便的方式。换句话说，在上图中我们可以用三角形的面积公式

\frac{1}{2} b h

来求面积和速度变化量。

关于加速度和时间图像的例题看起来是什么样子的？

例题 1: 赛车加速

一个自信的赛车手正在以 20 m/s 的恒速驾驶。当她接近终点时，赛车手开始加速。下图给出了赛车开始加速时的加速度。假设赛车在

t = 0 s

时的速度为 20 m/s。

在图中显示的8秒加速后，赛车的速度是多少？

我们可以通过求加速度图下的面积来找到速度的变化量。

Δ v = 面积 = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} (8 s) (6 \frac{m}{s^{2}}) = 24 m/s （利用三角形的面积公式: \frac{1}{2} b h 。 ）

Δ v = 24 m/s （计算速度的变化量。）

但这只是时间间隔内速度的变化量。我们需要找到终速。我们可以使用速度变化量的定义，

Δ v = v_{f} - v_{i}

，来得到

Δ v = 24 m/s

v_{f} - v_{i} = 24 m/s （用 v_{f} - v_{i} 代入 Δ v 。）

v_{f} - 20 m/s = 24 m/s （用 20 m/s 代入初速 v_{i} 。）

v_{f} = 24 m/s + 20 m/s （求 v_{f} 。）

v_{f} = 44 m/s （计算并庆祝！）

赛车的终速是 44 m/s。

例题 2：有风的帆船之旅

一艘帆船以 10 m/s 的速度直线航行。在

t = 0 s

时，一阵大风吹着帆船开始加速，如下图所示。

在风吹了 9 秒后，帆船的速度是多少？

图下的面积会给出速度的变化量。图形的面积可以被解构成一个矩形、一个三角形和另一个三角形，如下图所示。

因为

t = 0 s

和

t = 3 s

之间的蓝色矩形在横轴上方，所以它被当作正面积。同理

t = 3 s

和

t = 7 s

之间的绿色三角形也被当作正面积。但是

t = 7 s

和

t = 9 s

之间的红色三角形则被当作负面积，因为它在横轴下方。

将这些面积加起来——使用

h w

来计算矩形面积，用

\frac{1}{2} b h

计算三角形面积——得到

t = 0 s

和

t = 9 s

之间的总面积。

Δ v = area = (4 \frac{m}{s^{2}}) (3 s) + \frac{1}{2} (4 s) (4 \frac{m}{s^{2}}) + \frac{1}{2} (2 s) (- 2 \frac{m}{s^{2}}) （把矩形和三角形的面积相加。）

Δ v = 18 m/s （计算得到速度的总变化量。）

但这是速度的 变化量，要找到最终速度，我们要使用速度变化量的定义。

v_{f} - v_{i} = 18 m/s （使用速度变化量的定义。）

v_{f} = 18 m/s + v_{i} （求解终速。）

v_{f} = 18 m/s + 10 m/s （代入初速。）

v_{f} = 28 m/s （计算并庆祝！）

帆船的最终速度是

v_{f} = 28 m/s

。

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