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主要内容

什么是速度-时间曲线?

如何分析速度-时间曲线,并将其与加速度和位移联系起来。

在速度曲线中,纵轴表示什么?

纵轴表示物体的速度。这个好像很明显,但是需要先给你打个预防针——很多人觉得速度曲线很难理解。大家已经习惯了用斜率来确定速度——在位置曲线中就是如此——但他们忘记了,对于速度曲线,纵轴就是速度的值。
尝试在下面图中横向滑动圆点,选择不同时间,看看速度是怎么变化的。
概念测试:在上图中,物体在时间 t=4 s 处的速度是多少?

速度曲线的斜率表示什么?

速度曲线的斜率表示了物体的加速度。 所以,在某一时刻的斜率值表示物体在这一时刻的加速度。
速度曲线的斜率可以通过如下公式得出:
斜率=纵坐标变化值横坐标变化值 =v2v1t2t1=ΔvΔt
由于 ΔvΔt 是加速度的定义,因此速度曲线的斜率一定等于物体的加速度。
斜率=加速度
这意味着,当斜率很大时,物体的速度会改变很快,当斜率平缓时,物体的速度变化就没那么快。这也意味着,如果斜率是负的——方向向下——加速度就是负的,如果斜率是正的——方向向上——那么加速度也是正的。
试着在下面的速度曲线上横向滑动圆点,看看每个时刻的斜率是怎么变化的。
t=0 st=2 s 之间,曲线的斜率是正的,因为斜率方向向上。这意味着加速度为正。
t=2 st=8 s 之间,曲线的斜率是负的,因为斜率方向向下,这意味着加速度为负。
t=2 s 时,斜率为零,因为此时切线是水平的。这意味着在此时加速度为零。
概念检测:运动如上图所示的物体在 t=4 s时是加速还是减速?

速度曲线下方的面积表示什么?

曲线下方的面积表示物体的位移。 要了解原因,请考虑如下速度曲线的图像,该图像表示物体保持6米每秒的速度不变,运动了5秒钟。
要计算物体在此时间间隔的位移,可以使用如下公式
Δx=vΔt=(6 m/s)(5 s)=30 m
得出位移为 30 m
现在我们证明这个结果等于速度曲线下方的面积。考虑下图中的矩形区域。
矩形的高是 6 m/s,宽是 5 s,我们可以计算其面积为
 面积=×=6 m/s×5 s=30 m
这跟我们之前的计算结果是相同的。 速度曲线下方的面积,无论形状如何,都等于该时间间隔内的位移。
曲线下的面积=位移

涉及到速度时间图像的具体问题有哪些?

例1:帆板的速度变化

一个帆板玩家沿直线行驶,她的运动由如下图像所示。
以下关于这个帆板玩家的速度和加速度的说法正确的有哪些,请选出来。
(A) 速度在增大。
(B) 加速度在增大。
(C) 速度在减小。
(D) 加速度在减小。
选 A 和 D,速度增大,加速度减小。
速度曲线的斜率表示加速度。由于曲线的斜率在减小,在变得平缓,这意味着加速度在减小。
说起来似乎违反直觉,但这位帆板玩家在整个过程中都是在加速的。表示速度的曲线纵坐标,在整个运动过程中一直在增大,但每秒增加量越来越小。在前 4.5 秒,速度从 0 m/s 增加到 5 m/s,但在第二个 4.5 秒中,速度从 5 m/s 只增加到 7 m/s 左右。

例2:卡丁车加速

下面的速度时间图像描述了一辆卡丁车的运动。
A. 在时间 t=4 s 时,卡丁车的加速度是多少?
B. 从 t=0 st=7 s,卡丁车的位移是多少?

A. 计算卡丁车在 t=4 s 时刻的加速度

可以通过计算 t=4 s 时刻速度曲线的斜率,来得出在 t=4 s 时刻卡丁车的加速度。
斜率=纵坐标变化值横坐标变化值 
我们分别选择起始点——3 s,6 m/s,和终点——7 s,0 m/s。代入两点计算斜率的公式,我们得到:
斜率=v2v1t2t1=0 m/s6 m/s7 s3 s=6 m/s4 s=1.5ms2
加速度=1.5ms2

B. 计算从 t=0 st=7 s 之间卡丁车的位移

我们可以通过计算速度曲线下方区域的面积来计算位移。这部分区域可以看作是一个矩形(从 t=0 st=3 s)和一个三角形(从 t=3 st=7 s)。只要计算出这两部分面积再加起来,我们就能得出总位移。
矩形的面积计算如下
面积=h×w=6 m/s×3 s=18 m
三角形的面积计算如下
面积=12bh=12(4 s)(6 m/s)=12 m
这两部分面积加起来得出总位移。
总面积=18 m+12 m=30 m
总位移=30 m

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