为什么距离是速度-时间曲线下方的面积

我们有一个以5m/s速度移动的物体 假设它向右移动 给了方向 因为这是个矢量 所以向这个方向移动 在这里 我们把速度时间曲线画出来 这是速度 我实际上画的是速度的大小 你们可以用这表示 ||v|| 所以这是速度的大小 然后 这个轴 是时间 所以速度不变 是5m/s 所以它的大小是5m/s 是恒定的 当时间变化 速度不变 所以速度是5m/s 现在 我的问题是 5秒之后它走了多远？ 5秒之后 这是1s 2s 3s 4s 5s 在这里 所以5秒之后它走了多远 有两种思考方法 第一种 我们知道速度等于位移除以时间 位移就是位置的变化量 所以这是位移的变化量除以时间变化量 或者第二种思考方法 如果两边乘以时间变化量 就得到速度乘以时间变化量 等于位移 所以位移是多少？ 我知道速度是5m/s 5m/s 这就是速度 我用别的颜色标记出来 我们知道时间变化量是5s 所以得到 这个秒和这个秒约掉了 就得到5×5=25米 这很简单 但是有趣的是 这就是直线下方矩形的面积 我要在这个视频中给你们展示 通常情况下 如果把速度画出来 速度的大小 所以可以说 速率对时间 或者我们只要用速度的大小对时间 曲线下方的面积就是经过的距离 或是位移 因为位移就是速度乘以时间的变化量 所以如果把这个矩形拿出来 我画一个稍微不同的 速度是变化的 所以画另外一种情况 此时 加速度是恒定的 这里的加速度是1m/s/s 就是1m/s^2 我把同样类型的图画出来 尽管现在看起来有点不同 所以这是速度轴 我留点空间 这是速度轴 我只是画上了速度的大小 这是时间轴 这是时间 我在上面标上刻度 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 速度大小用m/s表示 时间用秒表示 所以怎么样了？ 假设我们从- 所以起始速度 或者说起始速度的大小 所以起始速率 可以说 说起始速率有点奇特 是0 所以起始速度是0 一秒之后 怎么样了？ 一秒之后 变快了1m/s 所以现在是1m/s 2秒之后怎么样了？ 现在 比刚才又快了1m/s 又过了一秒 如果继续 如果过了1秒 那么就比这快了1m/s 如果你们记得代数1课上讲的斜率的意思 在这个图中 就是加速度 我们知道加速度等于 速度变化量除以时间变化量 这里时间变化是沿着x轴 所以这是时间变化量 这里是速度变化量 当我们把速度 或者速度的大小 和时间的关系画上 这条直线的斜率就是加速度 因为我们假设加速度是恒定的 有恒定的斜率 所以这只是一条直线 不是曲线 现在 我要做的是考虑一种情况 我们设加速度是1 m/s^2 这么做是为了 时间变化量是5秒 我的问题是 我们走了多远？ 是个比刚才 更有趣一点的问题 所以我们从速度是0开始 然后过了5秒 加速度是1m/s^2 所以1 2 3 4 5 这就是我们的位置 所以过了5秒 我们知道了速度 速度是5m/s 但是我们走了多远？ 所以我们可以形象化的想一下 可以说 看 可以试着在这画矩形 我们在 或许这里的速度是1m/s 如果1m/s乘以1秒 这得到一段距离 下一段是长一点的距离 这样算 我可以继续画下去 但是然后你们 等等 这些矩形丢失了- 因为这不是- 这段时间内 速度不总是1m/s 一直在加速 所以实际上我应该分开这些矩形 我可以分成更多的矩形 所以或许 每半秒一个 所以在这半秒内 以这个速度前进 以这个速度前进了半秒 速度乘以时间等于位移 然后算下一秒 同样的 这算出了位移 如此等等 我认为你们看到的是 你们画的矩形越小 越接近曲线下方的面积 就像这种情况 曲线下方的面积等于经过的距离 很幸运 这只是个三角形 我们知道怎么算出三角形的面积 所以三角形的面积等于1/2乘以底乘以高 希望这对你们说得通 因为如果只是底乘以高 就得到整个矩形的面积 三角形的面积只是它的一半 所以这种情况下经过的距离 或者说是位移 只是因为我们要确定 我们关注的是矢量 位移等于 或者我应该说位移的大小 也就是距离 是1/2乘以底 就是5秒 乘以高 就是5m/s 乘以5m/s 换个颜色 这个秒和这个秒约掉了 就剩了1/2乘以5乘以5米 所以是1/2乘以25 就等于12.5米 所以这是个有趣的方法 有很多有趣的方法 希望你们能意识到 如果要画速度时间曲线 首先 曲线下方的面积 给定了一个时间 就能算出走了多远 其次 另一个有趣的是 曲线的斜率 代表了加速度 这个斜率是多少？ 这是完全平坦的 这是因为速度不变 所以这种情况下 加速度是恒定的 加速度的大小等于0 速度不变 右边 加速度是1m/s^2 这就是为什么这条直线的斜率是1 另一件有趣的事是 即使加速度恒定 仍然可以求出距离 只要求曲线下方的面积 像这样 所以我们能 能得到12.5米 最后我想给你们介绍的是 实际上 我们下个视频再讲 我要给你们介绍平均速度 现在我们接受了 经过的距离等于 速度时间曲线下方的面积