If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

运动学公式是什么?

这里有分析具有恒定加速度的运动问题的主要公式

运动学的公式都有哪些?

运动学公式是一套和以下五个变量有关的公式。
Δx位移
t时间间隔 
v0  初速度 
v   最终速度 
a  加速度常量 
对于一个处于匀加速状态下的物体,如果我们知道这五个变量——Δx,t,v0,v,a——中的三个,我们就可以使用运动学公式,解出其中一个未知变量。
运动学公式通常被写成以下四个公式。
1.v=v0+at
2.Δx=(v+v02)t
3.Δx=v0t+12at2
4.v2=v02+2aΔx
因为运动学公式仅在规定时间范围内物体匀加速时才准确,我们要确保在使用公式时加速度不发生变化。同时,运动学公式默认了所有变量都是作用于同一方向的:横向 x,纵向 y,等等。

什么是自由落体——例如一个抛射物?

尽管运动学公式只能被用于匀加速的时间范围看起来极大的限制了它的实用性,但是,最常见的一种运动模式,自由落体,正是匀加速。
所有地球上的自由落体——也被称作抛射物,无论它的质量是大是小,都会有一个因为重力所造成的向下匀加速 g=9.81ms2
g=9.81ms2(因重力产生的加速度大小)
自由落体被定义为只受重力所造成的加速度影响的物体。我们通常默认空气阻力所造成的影响小到可以被忽略,这意味着任何被抛落、扔出,或在空气中自由飞行的物体通常都可以被看作有向下匀加速 g=9.81ms2 的自由落体。
这听上去很奇怪,但想想也很幸运。这很奇怪因为这意味着一块大石头会和一块小石子以同样的加速度向下加速,如果它们从同样高度落下则会同时到达地面。
这很幸运因为当我们在解运动学方程时,我们不需要求物体的质量,因为无论自由落体的质量是大还是小,只要空气阻力小到可以忽略,都不会影响它的重力加速度 g=9.81ms2
请注意 g=9.81ms2 仅是重力加速度的大小。如果向上运动被记为正方向,我们在把它带入运动学公式时必须要取向下运动的负数 ay=9.81ms2
特别注意:忘记加上负号是使用运动学公式时最常见的错误之一。

如何使用和选择运动学公式?

我们选择的运动学公式同时包含未知变量和三个已知的运动学变量。这样我们可以解出我们要找的未知量,同时也会是公式里的唯一一个未知量。
如以下例子,一本在地上的书被踢向前方,有初始速度 v0=5 m/s,在 时间 t=3 s 之后书发生了 Δx=8 m 的位移。我们可以用运动学公式 Δx=v0t+12at2 来解出未知的加速度 a——假设书处于匀加速运动。选择这个公式是因为我们知道除了 a 以外的全部变量——Δx,v0,t
解题提示:每一个运动学公式都会缺少以下五个变量中的一个——Δx,t,v0,v,a
1.v=v0+at(这个公式缺 Δx。)
2.Δx=(v+v02)t(这个公式缺 a。)
3.Δx=v0t+12at2(这个公式缺 v。)
4.v2=v02+2aΔx(这个公式缺 t。)
为了选择适合的动力学公式,必须要找出未知且无需找出的变量。如以上例子,书的最终速度 v 既没有被给出也不需要求,所以我们选择动力学公式 Δx=v0t+12at2,因为它缺少 v,所以它是正确的用来求解 a 的公式。

如何推导出第一个运动学公式 v=v0+at

这个运动学公式可能是最容易推导的了,因为它只是将加速度的定义重新排列。我们可以先从加速度的定义开始
a=ΔvΔt
我们现在可以用速度的变化 vv0 来取代 Δv
a=vv0Δt
最后如果我们解出 v,我们得到
v=v0+aΔt
同时如果我们认可使用 t 来取代 Δt,这就变成了第一运动学公式
v=v0+at

如何推导出第二个运动学公式 Δx=(v+v02)t

一种很酷的图形化方法可以用来推导该公式:考虑一个匀速运动物体的速度曲线——换句话说,一个斜率为常数的曲线,并且开始于初始速度 v0(见下图)。
任何速度曲线下的区域都会给出它对应的位移 Δx。所以该速度曲线下的区域就是该物体的位移 Δx
Δx= 总区域
如上图中的那样,我们可以很容易的将这个区域分成两个部分:蓝色的长方形和红色的三角形。
蓝色长方形的高度为 v0,宽度为 t,所以蓝色长方形的面积为 v0t
红色三角形的底边长度为 t,且高为 vv0,所以红色三角形的面积为 12t(vv0)
总面积为蓝色长方形的面积加上红色三角形的面积。
Δx=v0t+12t(vv0)
如果我们将因子 12t 乘入括号内,我们得到
Δx=v0t+12vt12v0t
我们可以通过将两个 v0 项合并来进行化简
Δx=12vt+12v0t
最终我们可以将等式右边重写,得出运动学第二公式。
Δx=(v+v02)t
这个公式非常有趣,因为如果你将两边同时除以 t,你会得到 Δxt=(v+v02)。这说明了平均速度 Δxt 等于初速度和最终速度的平均值 v+v02。但是,这只在加速为匀加速的情况下成立,因为我们是从加速度/斜率为常数的图像中推导出这个公式的。

如何推导出第三个运动学公式 Δx=v0t+12at2

有许多种方法可以推导出 Δx=v0t+12at2。有一种非常有趣的几何推导法和一个相对无趣的带入推导法,我们会先讲解几何推导法。
设想一个具有初始速度 v0 并保持均匀加速直到最终速度 v 的物体,如下图所示。
因为速度曲线下的区域表示了位移 Δx,等式 Δx=v0t+12at2 右边的每一项都代表了一片上图中带颜色的区域。
v0t 代表了蓝色长方形区域,因为 Arectangle=hw
12at2 代表了红色三角形区域,因为 Atriangle=12bh
这就是推导过程。公式 Δx=v0t+12at2 必须为真,因为位移就是图中曲线下的总面积所表示的。我们的确默认了速度图是一条完美的斜线,所以我们才可以使用三角形面积公式。所以这个运动学公式和其他的公式一样,只在匀加速的情况下成立。

以下是带入的推导方法。第三个运动学公式可以通过将第一运动学公式 v=v0+at 带入第二运动学公式 Δxt=v+v02 来得出。
如果我们从第二运动学公式开始
Δxt=v+v02
然后我们使用 v=v0+at 带入 v,我们得出
Δxt=(v0+at)+v02
我们可以展开右边得出
Δxt=v02+at2+v02
把等式右边的 v02 项合并,得出
Δxt=v0+at2
最后将等式两边同时乘以 t 即可得出第三运动学公式
Δx=v0t+12at2
再次强调,我们使用了只在匀加速情况下成立的其他运动学公式来推导第三运动学公式,这说明了第三运动学公式仅在匀加速的情况下成立。

如何推导第四个运动学公式 v2=v02+2aΔx

为了推导第四个运动学公式,我们需要从第二个运动学公式开始:
Δx=(v+v02)t
我们要将 t 从公式中消除。为了实现这个目标,我们将 t 移到运动学第一公式 v=v0+at 的左边,得出 t=vv0a。如果我们将这个公式带入第二个运动学公式中的 t,我们会得到:
Δx=(v+v02)(vv0a)
将右边的两个分数相乘,得出
Δx=(v2v022a)
现在解出 v2 即可得到第四个运动学公式。
v2=v02+2aΔx

运动学公式有什么容易混淆的地方?

人们经常会忘记运动学公式仅在给定时间范围内匀加速的情况下才成立
有时,一个已知变量不会被直接给出,而是通过一些隐藏提示给出。比方说,“从静止开始运动”意味着 v0=0,“掉落”通常意味着 v0=0,“停止” 说明 v=0。同时,自由落体的加速度被默认为 g=9.81ms2,所以这个数字通常不会在自由落体的问题中被给出。
人们有时会忘记除了 t 以外的所有运动学变量——Δx,vo,v,a——都可以是负数。缺少负号是一个非常常见的错误来源。如果向上是用正数表示,那么自由落体的加速度必须用负数来表示:ag=9.81ms2
第三个运动学公式 Δx=v0t+12at2 可能会牵扯到二次方程公式,请见以下例三。
人们有时会忘记尽管你可以选择任何匀加速的时间区间来进行计算,但是你带入的运动学变量必须和它们所对应的时间区间保持一致。换而言之,初始速度 v0 必须为该物体在初始位置和和时间区间 t 开始时的速度。同理,最终速度 v 必须为物体在最终位置和所用时间区间 t 结束时的速度。

运用运动学公式解题是什么样子?

例1:第一运动学公式 v=v0+at

一个装满溶液的水瓶被人从高楼上抛落。
水瓶在 t=2.35 s 后的速度是多少?
如果向上的运动为正方向,我们已知的变量为
v0=0 (因为物体是被抛落的,所以它是从静止状态开始运动的)
t=2.35 s (我们需要找到在此时间间隔后的速度)
ag=9.81ms2(由于物体是自由落体)
由于运动是垂直的,所以我们会使用 y 作为我们的位置变量,而不是 x。我们选择的符号并不重要,只要我们使用的符号保持一致。但人们通常使用 y 来表示垂直方向的运动。
由于我们不知道位移 Δy 且我们不需要求 Δy,我们会使用第一运动学公式 v=v0+at,它缺少 Δy
v=v0+at(使用第一运动学公式因为它缺少 Δy。)
v=0 m/s+(9.81ms2)(2.35 s)(带入已知量。)
v=23.1 m/s(得出答案啦!)
请注意:最终速度为负数因为水瓶是向下运动的。

例2:第二运动学公式 Δx=(v+v02)t

豹子以6.20 m/s速度在奔跑,在看见猎物后,豹子在3.3 s内加速至23.1 m/s。
豹子在从6.20 m/s 加速至 23.1 m/s时一共跑过了多少距离?
将初始的运动方向设为正方向,我们的已知变量为
v0=6.20 m/s (豹子的初始速度)
v=23.1 m/s (豹子的最终速度)
t=3.30 s (豹子加速至最终速度所用的时间)
由于我们不知道加速度 a 且不需要求加速度,我们使用水平方向的运动学第二公式 Δx=(v+v02)t,它缺少 a
Δx=(v+v02)t(选择使用第二运动学公式因为它缺少a。)
Δx=(23.1 m/s+6.20 m/s2)(3.30 s)(带入已知量。)
Δx=48.3 m(得出答案啦!)

例3:第三运动学公式 Δx=v0t+12at2

小明做作业做的心烦意乱,他将他的铅笔垂直往上扔出,铅笔的速度为18.3 m/s。
铅笔需要花多久来达到比它初始高度高12.2 m的位置?
如果向上的运动为正方向,我们已知的变量为
v0=18.3 m/s (铅笔的初始向上速度)
Δy=12.2 m (我们需要知道铅笔完成这个位移的时间)
a=9.81 m s2 (铅笔为自由落体)
由于我们不知道也不需要求最终速度 v,我们选择使用垂直方向上的第三运动学公式 Δy=v0yt+12ayt2,它缺少 v
Δy=v0yt+12ayt2(从第三运动学公式开始)
我们会通常直接开始解问题。但是在任何一项都不为零且 t 为未知量的情况下,这个运动学公式不能被直接被解出来,因为这个公式变成了一个二次方程。我们可以通过带入已知的值来看出它为什么是二次方程。
12.2 m=(18.3 m/s)t+12(9.81 m s2)t2(带入已知值)
为了将这个式子变成更好解的二次方程形式,我们将所有变量都移到一边,并在两边同时减去12.2 m。
0=12(9.81 m s2)t2+(18.3 m/s)t12.2 m(写成二次方程的形式)
现在开始,我们只需要解出二次方程来求 tat2+bt+c=0 形式的二次方程的解可以通过公式 t=b±b24ac2a 来解。对于我们的运动学公式 a=12(9.81 m s2)b=18.3 m/s,且 c=12.2 m
接着带入二次方程公式,我们得到
t=18.3 m/s±(18.3 m/s)24[12(9.81 m s2)(12.2 m)]2[12(9.81 m s2)]
由于二次方程公式中有一个正负号,我们得出来时间 t 的解有两个,一个为使用正号 + 得出,另一个为使用负号 得出。解上面的公式时会得出两个解:
t=0.869 st=2.86 s
得出了两个正值的解,因为铅笔处于12.2 m高度的情况有两次。较短的时间代表了铅笔上升到12.2 m高度的时间,较长的时间代表了铅笔完成上升达到最高点再掉落到12.2 m的时间。
所以当我们在求“铅笔需要花多久来达到比它初始高度高12.2m的位置?”时,我们选择较短的时间 t=0.869 s

例4:第四运动学公式 v2=v02+2aΔx

摩托车手以 23.4 m/s 骑行,在看见前方堵车后用了50.2 m 来减速。已知摩托车处于匀减速状态且加速度大小为 3.20 m s2。摩托车一直处于前进的状态。
在减速了50.2m后摩托车手的速度为多少?
将初始的运动方向设为正方向,我们的已知变量为
v0=23.4 m/s (摩托车的初始速度)
a=3.20 m s2 (加速度为负数因为摩托车正在减速而前进的方向为正方向)
Δx=50.2 m (我们要知道摩托车完成该位移后的速度)
由于我们不知道也不需要求时间 t,我们使用在水平方向上的第四运动学公式 vx2=v0x2+2axΔx,它缺少 t
vx2=v0x2+2axΔx(从第四运动学公式开始)
vx=±v0x2+2axΔx(像解方程一样解出最终速度)
请注意在开根号时会得出两个解:一正一负,由于我们的摩托车一直在向正方向前进,所以我们取正解 vx=+v0x2+2axΔx
现在,我们可以带入值并解出问题:
vx=(23.4 m/s)2+2(3.20 m s2)(50.2 m)(带入已知量)
vx=15.0 m/s(得到答案啦!)

想加入讨论吗?

尚无帖子。
你会英语吗?单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.