推导出位移关于时间、加速度和初速度的函数

这个视频里我想做的是 想一下某种类型的抛射体会发生什么 可能是球或者是石头 如果我要直接扔到空中 为了做那个 我想要画出与时间有关的距离图 我打算告诉你关于扔石头到空中 的一些事情 石头的初速度Vi是每秒19.6米(19.6m/s) 我选择这个初速度 是因为会使数学计算容易一些 我们也知道地球表面的加速度 我们知道地球表面的重力 是物体的质量乘以加速度 我写下来 重力 等于物体的质量乘以小g 小g就是地球表面的重力加速度 g是9.8米每秒的平方(9.8m/s^2) 如果你想要知道地球上的加速度 你只要用力除以质量 因为我们有一般方程 力等于质量乘以加速度(F=ma) 如果你想要知道加速度 两边除以质量 你得到 力除以质量 我们在方程两边除以质量 so you get force over mass So, let‘s just divide this by mass 如果两边除以质量 左边是加速度 右边是小g 我这么做的全部原因是我们研究g时 它真的来自于万有引力定律 你可以把g看作测量地球表面的 重力场强度的量 用质量乘以g帮助我们计算出力 然后你用F=ma 牛顿第二定律 又一次提出加速度 就是朝向地心加速 另一件我想说明白的事情是 说到重力 通常来说重力等于大G- 大G与小g不同 乘以两个物体质量的乘积 再除以两个物体距离的平方 你可能会说 等一下 明显可以看到重力取决于距离 如果我把某个东西扔到空中 距离不会变吗？ 你是对的 学术来说 那是对的 真相是 把某个物体扔到空中 距离上的变化 相对于物体和地心的距离是如此小 以致于可以进行简化 当我们在地球上或表面附近 包括在大气中 我们可以假设它是不变的 记住那里的小g是所有条件结合得到的 如果我们假设物体1的质量(m1) 是地球的质量 r是地球的半径 到地球中心的距离 这样想是对的 改变了一点 重力变化了一点 将物体扔到大气层 我们可以假设重力是不变的 如果我们要计算它的话 它是9.8m/s2 我在这里已经进行四舍五入近似到十分位 我想要清楚的说明一点 这些是矢量 开始将物体扔到空中时 惯例是如果物体向上运动 它是正值 如果向下移动 它是负值 对于做自由落体运动的物体 重力将使它加速下落 或者说 重力是向下的 所以这里的小g 如果想要给它一个方向 是负的 小g是 -9.8m/s2 因为重力产生加速度 因为重力产生的加速度是 -9.8米每秒的平方(9.8m/s^2) 现在我想要画出距离-时间图 想一下我们怎样列出一个公式 推导一个公式 如果时间是变量的话 能得到距离 我们可以假设这里的这些值 实际上我想要画位移随时间变化的图 因为那样会更有趣 我们知道位移就是 平均速度乘以时间间隔(displacement=Vavg*(t1-t2)) 现在有关于时间 距离 平均速度的一些东西 但与初速度和加速度无关 我们知道平均速度就是 初速度(vi) 加上末速度(vf)再除以2 (Vavg=(vi+vf)/2) 如果假设恒定的加速度 假设恒定加速度的话 我们只能这样计算Vavg 我们再一次处理距地心不是很远的物体时 我们可以做出那样的假设 假设有恒定的加速度 我们不知道最终速度的值 我们需要再想一下这些 我们可以用初速度 时间 表示出末速度 只处理这一部分 平均速度 我们可以重新将这个表达式 写成初速度加上一个东西再除以2 末速度是多少？ 末速度是 初速度加上加速度乘以时间间隔 如果开始是10m/s 加速度是1m/s^2 1s后物体的速度要比1s前快1m/s 所以这里的这个是你的末速度 我想确保这些全都是矢量 这些全部都是矢量 希望你已经牢记 这些全都是矢量 有大小和方向 看一下我们能否简化一下这个式子 这两项 记住这里我们刚才处理的是平均速度 这两项 如果结合起来 变成2乘以初速度 (2vi) 2乘以初速度然后除以2 加上所有的这些再除以2 就是加速度乘以时间间隔再除以2 这个是表示末速度的另一种方法 我这样做的全部原因是 我们不知道末速度却知道加速度 我们使用时间间隔作为独立变量 这个还要乘以这里这个绿色的时间间隔 这个整体上乘以绿色时间间隔 所有这些就是位移 这是位移 我们想一下 我们可以用时间间隔乘以这个整体 实际上这两个2抵消 我们能得到 这里继续 我们得到位移等于初速度乘以时间间隔 一些物理课上或是课本上把时间放到那里 它是时间间隔 时间间隔更准确一些 加上1/2 就是除以2 加上1/2乘以加速度 乘以加速度 乘以 （Δt乘以Δt）时间间隔乘以时间间隔 三角形Δ意思是变化 时间间隔乘以时间间隔就是时间间隔的平方 在一些课上 你会看到这被写作 d等于vi乘以t加上1/2at2 这是同样的东西 只不过d代表位移 t代替Δt 这个视频中我想要你意识到的一件事是 这是非常直观可以看到的事情 如果时间上有压力 你想要随时能够想起来 重要的事情是 当你30岁 40岁或是50岁时 或者当你是工程师 尝试送火箭上天 没有物理课本去查找时 你记得怎样做 它来自于简单的公式 位移等于 平均速度乘以时间间隔 假设加速度不变 你可以推导出剩下的这些 这个视频我只讲到那里 我擦掉这里的这一部分 我们把它留在这里 下个视频中我们会使用刚刚得到的公式 我们会使用这个式子画出位移时间图 因为那很有意思 我们会一直想 随着时间逐渐推移 速度和加速度会有什么变化