什么是PV图？

想象一个密封容器中的气体，一端有活塞相连，如下图所示。我们可以通过向下按压活塞来对气体做功，也可以通过用火烤容器或者把容器泡进热水中的方式来加热气体。当气体发生这样的热力学变化时，压强和体积就会发生变化。

绘制压强-体积图像（即PV图像）是一种将气体压强和体积的变可视化的便捷方法。PV曲线上的每个不同的点都对应着气体的一个不同状态，其纵坐标表示压强，横坐标表示体积，如下图所示。

PV图像中的每个点都表示气体的一个不同状态（每个可能的压强和体积）。在热力学过程中，气体的状态点会在PV图像中移动，产生一个状态变化的路径。（如下图所示）

若能解读PV图像中所隐含的信息，我们就能了解气体的内能变化 $\Delta U$delta, U、热传递 $Q$Q、以及外部对气体的做功 $W$W。在下面的部分中，我们将阐述如何解读PV图像中隐含的信息。

假设气体初始状态如下PV图像所示：

如果我们向下按压活塞，气体体积会减少，气体的状态点必然向体积减小的方向移动（即向左移动，如下图）。由于此过程中气体被压缩，所以我们可以很确定的说外部对气体做了正功。

相似的，如果我们让气体膨胀，即向上提拉活塞，气体的体积将增大，所以状态点必然向体积变大的方向移动，即向右移动（如下图）。由于气体体积增大，因此我们仍然可以很确定的说外部对气体做了负功。

因此，当我们看到PV图像中气体的状态点向左移动，则外部对气体做功为正；同样的，当我们看到状态点向右移动，则外部对气体的做功为负。

热力学过程中，做功的大小等于曲线下方的面积，如下图所示。

做功等于曲线下方面积的原因是：

由于 $P\Delta V$P, delta, V 即为上图中矩形的 $\text{长} \times \text{ 宽}$start text, 长, end text, times, start text, space, 宽, end text，因此做功的大小就等于此面积的大小。 如果压强的单位是 $\text{帕斯卡}$start text, 帕, 斯, 卡, end text 并且体积单位是 $\text{m}^3$start text, m, end text, cubed，则我们计算出的做功的单位是 $\text{焦耳}$start text, 焦, 耳, end text。

不过我们必须非常谨慎地判别正负。如果PV图像中的路径向左，则体积减少，外部对气体做功为正。如果PV图像中的路径向右（如上图），则体积增大，外部对气体做功为负，这是因为 $W_\text{气体对外部做功}=-W_\text{外部对气体做功}$W, start subscript, start text, 气, 体, 对, 外, 部, 做, 功, end text, end subscript, equals, minus, W, start subscript, start text, 外, 部, 对, 气, 体, 做, 功, end text, end subscript

无论路径曲线是什么形状，曲线下方的面积都表示做功大小。对于任意曲线，我们可以想象把下方区域分割成无穷多的无穷窄矩形。

每一个无穷窄的矩形都表示在无穷小的一段时间内的做功，这些面积的总和就代表此变化过程总的做功。

应该说，我们总是假设这些过程发生的足够慢，使得全部气体在过程里的任何时刻都保持热力学平衡状态（即全部气体的温度都保持不变）。如果你觉得这一条很可疑，那么你的质疑是对的。然而，尽管现实世界中基本不存在能完全满足这个要求的热力学过程，但就算达不到这样的理想环境，我们对很多热力学过程进行建模的能力也不会受到根本影响。

请记住，内能和温度成正比 $U \propto T$U, \propto, T。所以如果温度升高，内能就一定增大。

现在，如果是理想气体，我们有：

如果没有气体逃逸（即分子数量 $N$N 不变）我们可以得到 $PV \propto T$P, V, \propto, T，综合以上，即有：

因此，如果压强与体积的乘积 $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis 增大，则温度 $T$T 和内能 $U$U 也一定增加（即有 $\Delta U$delta, U 为正）。如下图所示。

这意味着，如果PV图像中最终状态点比初始状态点更靠上靠右，那么 $\Delta U$delta, U 为正。同样的，如果PV图像中最终状态点比初始状态点更靠左靠下，那么 $\Delta U$delta, U 为负。

现在，如果PV图像中的状态点向左上方（压强增加且体积减小的方向）或者右下方（压强减小而体积增加的方向）移动，那 $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis 是增大还是减小就没那么明显了（因为一个变量增大一个变量减小）。我们必须从图中的数轴上找到初始状态点和最终状态点的 $P$P 值和 $V$V 值，才能计算并确定 $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis 是增加还是减小。

同样我们也会注意到，如果 $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis 的值不变，温度 $T$T 和内能 $U$U 也同样不会变。举例来说，如果压强变成二倍而体积变成一半的话，$(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis 保持不变（因为 $2P \times \dfrac{V}{2}=PV$2, P, times, start fraction, V, divided by, 2, end fraction, equals, P, V），最终状态的温度 $T$T 和内能 $U$U 与初始状态的温度和内能相等。

考虑一个PV图，我们通常要依靠热力学第一定律 $\Delta U=Q+W$delta, U, equals, Q, plus, W 来确定热传递的正负（即热量流入还是流出）。我们将上式变换成 $Q$Q 的表达式如下：

现在，我们可以用已知的方法先确定 $\Delta U$delta, U 和 $W$W 的符号，在某些情况下就可以直接确定 $Q$Q 的符号。比如说，如果内能变化为正，且外部对气体做功为负，

$Q=(+)-(-)=+\qquad$Q, equals, left parenthesis, plus, right parenthesis, minus, left parenthesis, minus, right parenthesis, equals, plus ……则热量的净传入为正。

这个不难理解，由于气体的内能增加，而气体还在对外做功，这就说明：相比气体对外做功所消耗的能量，外部传递给气体的热量必须更多。

或者另一种情况，假如内能减少并且外部对气体做正功，

$Q=(-)-(+)=-\qquad$Q, equals, left parenthesis, minus, right parenthesis, minus, left parenthesis, plus, right parenthesis, equals, minus ……则热量的净传入为负。

同样不难理解，由于外部对气体做功，而气体的内能还在减少，说明相比于气体从外部做功所获得的能量，气体流失的热量必须更多。

密封容器中的理想气体经过如下PV图像所示的热力学过程。

密封容器中的理想气体经过如下PV图像所示的热力学过程。气体的初始体积和最终体积分别是 $V_i=0.25 \text{m}^3$V, start subscript, i, end subscript, equals, 0, point, 25, start text, m, end text, cubed 和 $V_f=0.75 \text{m}^3$V, start subscript, f, end subscript, equals, 0, point, 75, start text, m, end text, cubed。气体的初始压强和最终压强分别是 $P_i=70,000 \text{ Pa}$P, start subscript, i, end subscript, equals, 70, comma, 000, start text, space, P, a, end text 和 $P_f=160,000 \text{ Pa}$P, start subscript, f, end subscript, equals, 160, comma, 000, start text, space, P, a, end text。

解：

我们可以通过计算PV图像上曲线下方的面积来得出做功大小。我们必须确保计算的是总面积，从曲线一直向下到横轴。举例来说，我们可以想象在上述曲线下方是三角形和矩形（如下图）。

现在我们只需计算出三角形和矩形的面积之和即可。矩形的高是压强 $P_i$P, start subscript, i, end subscript ，宽是体积的变化值 $\Delta V=V_f-V_i$delta, V, equals, V, start subscript, f, end subscript, minus, V, start subscript, i, end subscript。那么有：

$\blueD{\text{面积 1}}=\text{高} \times \text{宽} \quad$start color #11accd, start text, 面, 积, space, 1, end text, end color #11accd, equals, start text, 高, end text, times, start text, 宽, end text （矩形的面积）

$\blueD{\text{面积 1}}=P_i \times \Delta V \quad$start color #11accd, start text, 面, 积, space, 1, end text, end color #11accd, equals, P, start subscript, i, end subscript, times, delta, V （高是 $P_i$P, start subscript, i, end subscript 宽是 $\Delta V$delta, V)

$\blueD{\text{面积 1}}=(70,000\text{ Pa}) \times (0.75\text{m}^3-0.25\text{m}^3)\quad$start color #11accd, start text, 面, 积, space, 1, end text, end color #11accd, equals, left parenthesis, 70, comma, 000, start text, space, P, a, end text, right parenthesis, times, left parenthesis, 0, point, 75, start text, m, end text, cubed, minus, 0, point, 25, start text, m, end text, cubed, right parenthesis （带入数值）

$\blueD{\text{面积 1}}=35,000 \text{ J} \quad$start color #11accd, start text, 面, 积, space, 1, end text, end color #11accd, equals, 35, comma, 000, start text, space, J, end text （计算）

使用三角形面积公式 $A=\dfrac{1}{2}bh$A, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h 来计算：

$\greenD{\text{面积 2}}=\dfrac{1}{2}bh \quad$start color #1fab54, start text, 面, 积, space, 2, end text, end color #1fab54, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h （三角形面积）

$\greenD{\text{面积 2}}=\dfrac{1}{2}b(160,000\text{Pa}-70,000\text{ Pa}) \quad$start color #1fab54, start text, 面, 积, space, 2, end text, end color #1fab54, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, left parenthesis, 160, comma, 000, start text, P, a, end text, minus, 70, comma, 000, start text, space, P, a, end text, right parenthesis （三角形的高是压强的变化 $P_f-P_i$P, start subscript, f, end subscript, minus, P, start subscript, i, end subscript ）

$\greenD{\text{面积 2}}=\dfrac{1}{2} (0.75\text{m}^3-0.25\text{m}^3)(160,000\text{Pa}-70,000\text{ Pa}) \quad$start color #1fab54, start text, 面, 积, space, 2, end text, end color #1fab54, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 0, point, 75, start text, m, end text, cubed, minus, 0, point, 25, start text, m, end text, cubed, right parenthesis, left parenthesis, 160, comma, 000, start text, P, a, end text, minus, 70, comma, 000, start text, space, P, a, end text, right parenthesis （三角形的底是体积的变化 $V_f-V_i$V, start subscript, f, end subscript, minus, V, start subscript, i, end subscript ）

$\greenD{\text{面积 2}}=22,500 \text{ J} \quad$start color #1fab54, start text, 面, 积, space, 2, end text, end color #1fab54, equals, 22, comma, 500, start text, space, J, end text （计算）

因此，曲线下的总面积为 $35,000 \text{ J} + 22,500 \text{ J}=57,500 \text{ J}$35, comma, 000, start text, space, J, end text, plus, 22, comma, 500, start text, space, J, end text, equals, 57, comma, 500, start text, space, J, end text

曲线下方的面积表示了在此过程中气体做功的大小。要确定外部对气体做功的正负，我们只需注意到在此过程中状态点向右移动，气体体积增大。当气体体积增大时外部对气体做功为负。因此，

$W_\text{外部对气体做功}=-57,500 \text{ J}\quad$W, start subscript, start text, 外, 部, 对, 气, 体, 做, 功, end text, end subscript, equals, minus, 57, comma, 500, start text, space, J, end text （搞定）