什么是PV图？

想象一个密封容器中的气体，一端有活塞相连，如下图所示。我们可以通过向下按压活塞来对气体做功，也可以通过用火烤容器或者把容器泡进热水中的方式来加热气体。当气体发生这样的热力学变化时，压强和体积就会发生变化。

绘制压强-体积图像（即PV图像）是一种将气体压强和体积的变可视化的便捷方法。PV曲线上的每个不同的点都对应着气体的一个不同状态，其纵坐标表示压强，横坐标表示体积，如下图所示。

PV图像中的每个点都表示气体的一个不同状态（每个可能的压强和体积）。在热力学过程中，气体的状态点会在PV图像中移动，产生一个状态变化的路径。（如下图所示）

若能解读PV图像中所隐含的信息，我们就能了解气体的内能变化 $\mathrm{\Delta }U$‍、热传递 $Q$‍、以及外部对气体的做功 $W$‍。在下面的部分中，我们将阐述如何解读PV图像中隐含的信息。

假设气体初始状态如下PV图像所示：

如果我们向下按压活塞，气体体积会减少，气体的状态点必然向体积减小的方向移动（即向左移动，如下图）。由于此过程中气体被压缩，所以我们可以很确定的说外部对气体做了正功。

相似的，如果我们让气体膨胀，即向上提拉活塞，气体的体积将增大，所以状态点必然向体积变大的方向移动，即向右移动（如下图）。由于气体体积增大，因此我们仍然可以很确定的说外部对气体做了负功。

因此，当我们看到PV图像中气体的状态点向左移动，则外部对气体做功为正；同样的，当我们看到状态点向右移动，则外部对气体的做功为负。

热力学过程中，做功的大小等于曲线下方的面积，如下图所示。

做功等于曲线下方面积的原因是：

由于 $P\mathrm{\Delta }V$‍ 即为上图中矩形的 $\text{长}\times \text{ 宽}$‍，因此做功的大小就等于此面积的大小。 如果压强的单位是 $\text{帕斯卡}$‍ 并且体积单位是 ${\text{m}}^3$‍，则我们计算出的做功的单位是 $\text{焦耳}$‍。

不过我们必须非常谨慎地判别正负。如果PV图像中的路径向左，则体积减少，外部对气体做功为正。如果PV图像中的路径向右（如上图），则体积增大，外部对气体做功为负，这是因为 $W_{\text{气体对外部做功}}=-W_{\text{外部对气体做功}}$‍

无论路径曲线是什么形状，曲线下方的面积都表示做功大小。对于任意曲线，我们可以想象把下方区域分割成无穷多的无穷窄矩形。

每一个无穷窄的矩形都表示在无穷小的一段时间内的做功，这些面积的总和就代表此变化过程总的做功。

应该说，我们总是假设这些过程发生的足够慢，使得全部气体在过程里的任何时刻都保持热力学平衡状态（即全部气体的温度都保持不变）。如果你觉得这一条很可疑，那么你的质疑是对的。然而，尽管现实世界中基本不存在能完全满足这个要求的热力学过程，但就算达不到这样的理想环境，我们对很多热力学过程进行建模的能力也不会受到根本影响。

请记住，内能和温度成正比 $U\propto T$‍。所以如果温度升高，内能就一定增大。

现在，如果是理想气体，我们有：

如果没有气体逃逸（即分子数量 $N$‍ 不变）我们可以得到 $PV\propto T$‍，综合以上，即有：

因此，如果压强与体积的乘积 $(P\times V)$‍ 增大，则温度 $T$‍ 和内能 $U$‍ 也一定增加（即有 $\mathrm{\Delta }U$‍ 为正）。如下图所示。

这意味着，如果PV图像中最终状态点比初始状态点更靠上靠右，那么 $\mathrm{\Delta }U$‍ 为正。同样的，如果PV图像中最终状态点比初始状态点更靠左靠下，那么 $\mathrm{\Delta }U$‍ 为负。

现在，如果PV图像中的状态点向左上方（压强增加且体积减小的方向）或者右下方（压强减小而体积增加的方向）移动，那 $(P\times V)$‍ 是增大还是减小就没那么明显了（因为一个变量增大一个变量减小）。我们必须从图中的数轴上找到初始状态点和最终状态点的 $P$‍ 值和 $V$‍ 值，才能计算并确定 $(P\times V)$‍ 是增加还是减小。

同样我们也会注意到，如果 $(P\times V)$‍ 的值不变，温度 $T$‍ 和内能 $U$‍ 也同样不会变。举例来说，如果压强变成二倍而体积变成一半的话，$(P\times V)$‍ 保持不变（因为 $2P\times {\displaystyle \frac{V}{2}}=PV$‍），最终状态的温度 $T$‍ 和内能 $U$‍ 与初始状态的温度和内能相等。

考虑一个PV图，我们通常要依靠热力学第一定律 $\mathrm{\Delta }U=Q+W$‍ 来确定热传递的正负（即热量流入还是流出）。我们将上式变换成 $Q$‍ 的表达式如下：

现在，我们可以用已知的方法先确定 $\mathrm{\Delta }U$‍ 和 $W$‍ 的符号，在某些情况下就可以直接确定 $Q$‍ 的符号。比如说，如果内能变化为正，且外部对气体做功为负，

$Q=(+)-(-)=+$‍ ……则热量的净传入为正。

这个不难理解，由于气体的内能增加，而气体还在对外做功，这就说明：相比气体对外做功所消耗的能量，外部传递给气体的热量必须更多。

或者另一种情况，假如内能减少并且外部对气体做正功，

$Q=(-)-(+)=-$‍ ……则热量的净传入为负。

同样不难理解，由于外部对气体做功，而气体的内能还在减少，说明相比于气体从外部做功所获得的能量，气体流失的热量必须更多。

密封容器中的理想气体经过如下PV图像所示的热力学过程。

密封容器中的理想气体经过如下PV图像所示的热力学过程。气体的初始体积和最终体积分别是 $V_i=0.25{\text{m}}^3$‍ 和 $V_f=0.75{\text{m}}^3$‍。气体的初始压强和最终压强分别是 $P_i=70,000\text{ Pa}$‍ 和 $P_f=160,000\text{ Pa}$‍。

解：

我们可以通过计算PV图像上曲线下方的面积来得出做功大小。我们必须确保计算的是总面积，从曲线一直向下到横轴。举例来说，我们可以想象在上述曲线下方是三角形和矩形（如下图）。

现在我们只需计算出三角形和矩形的面积之和即可。矩形的高是压强 $P_i$‍ ，宽是体积的变化值 $\mathrm{\Delta }V=V_f-V_i$‍。那么有：

$\text{面积 1}=\text{高}\times \text{宽}$‍ （矩形的面积）

$\text{面积 1}=P_i\times \mathrm{\Delta }V$‍ （高是 $P_i$‍ 宽是 $\mathrm{\Delta }V$‍)

$\text{面积 1}=(70,000\text{ Pa})\times (0.75{\text{m}}^3-0.25{\text{m}}^3)$‍ （带入数值）

$\text{面积 1}=35,000\text{ J}$‍ （计算）

使用三角形面积公式 $A={\displaystyle \frac{1}{2}}bh$‍ 来计算：

$\text{面积 2}={\displaystyle \frac{1}{2}}bh$‍ （三角形面积）

$\text{面积 2}={\displaystyle \frac{1}{2}}b(160,000\text{Pa}-70,000\text{ Pa})$‍ （三角形的高是压强的变化 $P_f-P_i$‍ ）

$\text{面积 2}={\displaystyle \frac{1}{2}}(0.75{\text{m}}^3-0.25{\text{m}}^3)(160,000\text{Pa}-70,000\text{ Pa})$‍ （三角形的底是体积的变化 $V_f-V_i$‍ ）

$\text{面积 2}=22,500\text{ J}$‍ （计算）

因此，曲线下的总面积为 $35,000\text{ J}+22,500\text{ J}=57,500\text{ J}$‍

曲线下方的面积表示了在此过程中气体做功的大小。要确定外部对气体做功的正负，我们只需注意到在此过程中状态点向右移动，气体体积增大。当气体体积增大时外部对气体做功为负。因此，

$W_{\text{外部对气体做功}}=-57,500\text{ J}$‍ （搞定）