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主要内容
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单位向量的符号表示

视频字幕

下午好 我们已经做了很多关于向量的问题 在很多问题中 当我们把某种东西发射 抛射运动问题中 或者当你们做包含平面的问题 我经常给你们一个向量 我像这样画一个向量 我会说 一个物体的速度是10m/s 向着30度角的方向 然后我可以把它分成x和y分量 所以如果我把这个向量叫做v 我要用一个符号 vx应该是这个向量 vx应该是下面这个向量 这个向量的x分量 然后vy应该是这个向量的y分量 它应该是这个向量 所以这是vx 这是vy 希望到目前为止 怎么把这些算出来应该是你们的第二天性了 vx应该是10乘以cos这个角 10cos30° 我认为cos30°等于根3除以2 但是我们现在不关心这个 vy应该是10乘以sin这个角 希望这应该是你们的第二天性 如果不是 把SOH-CAH-TOA写下来 sin30°等于 对边除以斜边 然后可以得到这些 但是我们已经复习了这些 你们应该复习一下开始的向量视频 但是现在我想让你们做的 因为这对简单抛射运动问题是很有用的 但是一旦我们开始研究更复杂的向量 或许我们要研究多维的向量 三维向量 或线性代数中 当我们用n维向量时 需要一种一致的方法 一种解析的方法 而不是一直 画代表向量的图 所以我们要做的是 我们用叫做- 我认为每个人都叫它单位向量 所以这是什么意思?所以我们定义这些单位向量 我画几个轴 记住它是很重要的 这刚开始看起来可能有点令人迷惑 但是到目前为止 这和你们在物理问题中 做过的没什么不同 我把坐标轴画到这里 我们设这是1 这是0 这是2 0 1 2 我不知道是不是一定要写上阿拉伯数字 往后 这是0 1 2 这不是20 然后我们设在y方向上 这是1 这是2 我要在二维定义单位向量 所以我首先定义一个向量 我叫这个向量i 就是这个向量 它只是沿着x方向 没有y分量 它的大小是1 所以这是i 我们通过在上面写一个 小的帽子来表示单位向量 有很多标记 有时候在书上 你们会看到没有帽子的i 不过是黑体字 还有别的符号 但是如果你们见到i 不是在虚数计算中 你们就应该发现 这是单位向量 它的大小是1 完全在x方向上 我要定义另一个向量 这一个叫做j 它和y是相同的 但是在y方向上 这是向量j 在上面画一个小帽子 所以我为什么这么做? 如果我处理的是二维的 之后 我们会看到三维的 所以实际上会有第三维 我们把它叫做k 但是现在不要管它 但是因为我们处理的是二维的 我们可以把任何向量定义成 这两个向量的和 所以为什么这可行?这个向量 我们把它叫做v 这个向量v 是它的x分量加上它的y分量 当向量相加 你们可以让它们首尾相接 这就是和 所以希望大家明白我们已知的 我们知道这个向量v 等于它的x分量加上y分量 当向量相加 实际上只要让它们首尾相连 然后它们的和就是结束的位置 如果这些向量相加 然后把它的结束点和它的开始点连接起来 就到这里结束 所以到这里结束 所以就是这个向量 所以我们可以把vx用i 用这个单位向量表示吗? 可以 vx完全向着x方向 但是它的大小不是1 它的大小是10cos30° 所以它的大小是 我们把这个向量画到这里 这是单位向量 它看起来像是这样的 所以vx向着同样的方向 它只是把单位向量延长了 它是单位向量的多少倍? 单位向量的大小是1 这个的大小是10cos30° 我认为这是 5根3 所以我们可以把vx写成 我一直换颜色来让这有趣 我们可以把vx写成等于10cos30°乘以 这个角度 乘以单位向量i 我们一直用这个颜色 所以你们不会感到迷惑 乘以单位向量i 这说得通吗? 单位向量i也向着这个方向 但是这个向量的x分量只是更长 是10cos30° 这等于 cos30°等于根3除以2 所以这是5根3i 同样的 我们可以 把这个向量的y分量写成一个数乘以j 所以我们可以说vy y分量 sin30°是多少?sin30°=1/2 1/2乘以10 所以这是5 所以y分量完全向着y方向 所以它只是一个数乘以j 乘以单位向量 哪个数乘以它? 它的长度是5 单位向量的长度是1 所以是5乘以单位向量j 所以我们可以怎么表示v? 我们知道向量v等于它的x分量 和它的y分量之和 所以我们也就知道了 这个向量v 它的x分量是多少? 它的x分量可以写成 x单位向量的倍数 就是这个 所以我们可以把它写成5根3i 加上它的y分量 所以它的y分量是多少? 它的y分量是y单位向量的倍数 y单位向量叫做j 上面有个小帽子 就是这个 5乘以j 所以这就是我们做过的 通过定义单位向量 我可以换个颜色来让你们记住这是i 这个单位向量是这个 用两个方向上的单位向量 我们最终可以用几个方向来表示 我们可以分解表示任意一个二维向量 而不用像以前一样把它画下来 然后分解成它的分量 不必总是用可视化方法来做 我们可以用解析方式和不画图的方法 让这非常有用的是 如果我可以把一个向量写成这种形式 我就可以不用凭借画图方法 来把它们进行加减 我这么说的意思是什么? 如果我有一个向量a等于 我不知道 2i+3j 还有另外一个向量b 小箭头表示它是向量 有时候你们要把它画成整个箭头 我不知道 10i+2j 如果我要问 这两个向量 a+b是多少? 在我们用单位向量之前 我们要把它们画出来 然后让它们首尾相连 你们要用画图方法 这会花费很多时间 但是一旦你们学会了把它分成x和y分量 你们只要分别把x和y分量相加 所以向量a加向量b 这就是2+10乘以i加上3+2乘以j 这就等于12i+5j 你们可能想做一些计算 或许我要在将来的视频中讲 实际上就是把这两个向量表示出来 然后相加 你们就会看到得到了完全相同的结果 正如我们在以后的视频 将来的视频中要讲的 一旦我们开始做更多复杂的物理问题 或者开始做带有计算的物理问题 你们就会看到这多么有用了 不管怎样 我快要超过10分钟了 下个视频再见