单位向量和工程表示法

在这个视频中 我想做的是 给你们展示用分量表示矢量的方法 这有的时候叫做矢量的工程表示法 但是这很有用 因为这允许我们追踪矢量的分量 当我们研究单独的分量时 这样更具体一点 所以现在我们把这个矢量分解 我假设这是个速度矢量 矢量v 它的大小是10m/s 它的方向是在水平线以上 与水平线夹角30度 我们之前分解过这样的矢量 竖直分量 它的大小 它的大小应该是 所以 这里 竖直分量的大小是 10sin30° 就是10m/s乘以sin30度 sin30度 这只是来源于基本三角函数公式 我在之前的视频中讲过很多 sin30°等于1/2 所以这就是5或5m/s 10乘以1/2等于5 5m/s 所以这就是它的竖直分量的大小 在前面几个视频中 我用了一种不太具体的方法分解出了竖直矢量 我经常用这个符号 它不像这个这么具体 这就是为什么我要在这个视频中做的更好 我刚说了矢量是5m/s 但是我告诉过你们这个方向 已经隐含了 因为这是竖直分量 这是个竖直矢量 我在之前的视频中告诉了你们 如果这是正的 就表示向上 负的表示向下 所以如果我把背景告诉你们 这样你们就可以发现 这是个矢量 符号确定了方向 但是我要一直讲述这个是竖直矢量 所以它有点不是那么具体 所以当我们谈论 水平矢量 我们有同样的问题 所以这个水平矢量 它的大小 水平矢量的大小 等于10cos30° 同样直接从基本三角函数公式得出的 cos30度 所以cos30度等于根3除以2 根3除以2 乘以10 就得到5根3m/s 同样在过去的视频中 我说过 看 实际上 当我们说到矢量 我有时候用这个符号 5根3m/s 但是为了确定 这不仅仅是大小 我要继续告诉你们 在水平方向上 如果这是正的 它就是向右的 如果是负的 就是向左的 但是在这个视频中 我要做的是告诉你们一种惯例 这样我就不用一直关注方向 它们都 它让所有的都更具体 所以我们要做的是介绍 什么是单位向量 或单位矢量 所以根据定义 我们介绍矢量i 矢量i 有时候也叫做i帽 我画到这里 所以这个矢量 我画的小一点 所以矢量i帽 所以这是矢量i帽的样子 我们在i上面画了一个帽子来表示它是单位矢量 单位矢量是什么 所以i帽向着x正方向 这就是它怎么定义的 我们也 单位矢量告诉我们它的大小是1 所以矢量i帽的大小等于1 它的方向 是x正方向 所以如果我们想用一种更好的方法 说明x分矢量 我们实际上应该叫它 我们确实应该叫它 5根3乘以这个单位矢量 因为这是5 这个绿色的向量 等于5根3乘以这个矢量 因为这个矢量的长度是1 所以是5根3乘以这个单位矢量 关于它 我喜欢的是 现在还没必要告诉你们 记住这个水平的矢量 正号代表 正号代表向右 负号代表向左 这是隐含的 因为显然这是个正的值 这是个正的值乘以i 就是向右的 如果它是个负值 翻转矢量 方向向左 所以这实际上是一种更好的说明 x分量矢量的方法 或如果我把向量v 分解成它的x分量 这是一种更好的表示矢量的方法 对y方向也是一样的 我们可以定义一个单位矢量 选个颜色 选个没用过的 我选一个 粉色我没有用过 我们可以定义一个矢量 它是竖直向上 向着y方向 叫做矢量j 同样 这个单位矢量的大小是1 它上面的这个小帽子告诉我们 或有时候叫做caret（插入符） 一个插入符号 这就告诉我们它是个矢量 但是是个单位矢量 它的大小是1 根据定义 矢量j 大小是1 向着y轴正方向 所以这是这个矢量的y分量 不用说它是 5m/s 向上 它的隐含方向是向上的 因为竖直矢量或它的竖直分量是正的 现在 我们更加- 或它更加具体 我们可以说它等于5乘以j 5j 因为你们看到这个洋红色的矢量 恰好和j方向相同 和j方向相同 是它的5倍长度 我不知道它是否恰好是5倍 我只是估计一下 是它的5倍长度 现在 非常酷的是 除了能把分量表达成 特定矢量的倍数 不是只能做 我们之前做过的 或者用明确的向量表示分量 我们还知道 矢量v是它的分量的和 如果相加 如果从这开始 这个绿色的矢量 加上这个竖直分量 头尾相接 就得到这个蓝色的矢量 所以实际上 我们可以用这些分量 来表示这个矢量 我们不用一直这样画 所以我们可以写 这个矢量 v等于这个矢量 我们这样写 等于它的x分量矢量 加上y分量矢量 加上y分量矢量 我们可以这样写 x分量矢量是5根3乘以i 5根3乘以i 然后加上y分量 竖直分量 就是5j 就是5乘以j 所以 很好的是 你们可以把任何矢量分解成两个分量 分解成分量i和j 用分量i和j表示 如果在三维空间中 你们经常会 特别是今后学到的物理课中 你们可以定义一个正z方向的矢量 取决于你们想怎么做 尽管z通常是上下方向的 但是不管下一个分量怎么画 画一个矢量k向着第三个方向 我要用一个非常规的方法 我要让k向这个方向 尽管通常情况 当你们画出第三个方向 k是上下方向的 但是这本身就很整洁了 因为现在我们可以表示任何向量 任何向量用它的分量表示 这也让数学计算更简单