在二维平面中可视化向量

我们迄今处理的所有问题 基本上 发生在一维 你可以去前进和后退 你可以向前后 左右 上下方向移动 不过我想在这视频开始讨论 二维的问题 甚至把这段视频的问题扩展到 3或4个真正任意数量的维度 或者如果我们正在处理经典力学 你不会需要超过3个维度 而如果你要处理多于一个维度 我们也将要处理二维向量 我只是想通过这部影片确保 你至少了解两维向量的基础 记住向量同时有大小和方向 所以我想做的第一件事就是给你一个直观的了解 两维的向量如何相加 所以我们说这里我有一个向量A 所以再次由这个箭头的长度指定其大小 按箭头的方向它的方向指定 所以它进入这一方向后 比方说我有另一个向量称为向量B 就是这样 我想在这个视频做的是想想会发生什么 当我让向量A和向量b相加 当你直观地描绘向量时 是有几件事情得想想 例如向量a的最重要的事情是只要长度对了 方向对了 实际上画在什么地方是无所谓的 所以这可能是向量a 这也可能是向量a 注意它具有相同的长度并有相同的方向 这也是一个向量 我可以在这里画一个向量 这无关紧要 我可以在这里画一个向量 我可以画一个向量b 我可以在这里绘制向量b 它仍然是向量b 因为它具有相同的大小和方向 请注意 我们并不是说它的尾部开始在同一个地方 从向量a的尾巴开始 在这里我可以画向量b 我总是可以得到同一个向量 但可以到处移动 我可以移动它 只要它具有相同大小 相同的长度和方向 我这样做的原因是图像上描绘出向量加法 如果我想向量a加上向量b 在未来的视频我会告诉你更多解析计算 我可以画出向量a 所以这是向量a 然后我可以画出向量b 但我把向量b的尾部放到向量a的头部 所以我把向量b移动到向量a的头部 然后向量b会是这个样子 如果你从a的尾部到b的头部 然后叫它向量c 这是a和b的总和 它应该是有意义的 如果你想想看 比方说 这些是位移向量 所以a显示出我们在这个方向移动了多少 b显示出我们在这个方向移动了多少 所以在这个方向b的长度 我要说 如果你有一个位移a 然后你有一个位移b 你的总位移是多少呢？ 我想你会让它们往这个方向移动这么多 然后再在这个方向移动这么多 所以你净移动量是往这一方向这么多 因此这是为什么这个总和是这个 现在我们可以使用同样的想法分解任何二维向量 把它拆成分量 我会很快给你更好地理解这是什么意思 所以我有一个向量a 让我选择一个新字母 让我们称之为向量x 让我们称之为向量x 我可以说向量x是某些量的和 这绿色的向量这里 还有这个红色向量 请注意 如果x从绿色向量尾部开始 然后去到洋红色向量的头部 然后洋红色向量从绿色向量的头开始 然后结束在向量x的头部 我这样做的原因是希望你们了解 这个组合的意义 好吧 绿色向量加洋红向量得出 X向量 这是有意义的 我把绿色向量头部放到洋红向量尾部 就在这里 但我之所以这样做是 我可以把x表达为这两个向量的总和 然后再把x分解成垂直分量和水平分量 这样我可以叫这个水平分量 叫这个垂直分量 或者叫x的垂直分量 我可以把这个叫做x的水平分量 或者换个画法 我可以把这个X垂直移走 记住在什么地方画出来并不要紧 只要方向和大小一样 我可以这么画x垂直分量 你看到可以这样表示向量x 你可以这样表示向量x 我会用同一颜色标记 你可以把向量x表示成 水平和垂直分量的和 水平和垂直分量的和 我们会再次看到这是超级强大的 因为它们能做的就是把二维问题 换成两个独立的一维问题 一个作用在水平方向一个作用在垂直方向 我想再多做一点数学运算 我刚刚告诉你所有的长度 它实际上是分解 让我告诉你分解向量是什么意思 所以我们说有一个看起来像这样的向量 我尽我所能 这里有一个向量看起来是这样 它的长度是5 我叫它向量a 我会说向量a的长度等于5 然后我们要给它定一个方向 我们给定它的方向的方法是 给出它和X轴正方向的夹角 所以 也许我会在这里绘制坐标轴 所以我们说这里是Y轴正方向 是垂直方向 这在X轴正方向是水平方向 然后指定该向量的方向 在这里我会得到这个角度 我会得到一个非常奇特的角度 但是 具体原因是最后数字会很整齐 我要把它定为36.8699度 所以我为了某个原因挑选特别的数值 我想做的是我想弄明白这个向量的水平 和垂直分量 我想把它们分解成 向上向下 或者向左或向右 两个方向 所以 我怎么做呢 我可以直接画出来 看他们什么样 垂直分量看起来像这样 垂直分量看起来像这样 水平分量看起来像这样 它的水平分量看起来像这样 它的水平分量的画法是从向量a开始 向量往x方向 只往x方向 为了回到向量a的头 你需要 有垂直分量 有时我们说 我们说垂直分量a下标y 它在y方向移动 我们可以叫这个水平分量的a下标x 我想弄清楚a下标y的大小 还有a下标x 我们如何做到这一点？ 另一种画法是 我已经基本上建立一个直角三角形 这是一个直角三角形 我们知道这个三角形的长度 这条边的长度 斜边的长度 那将是向量a的大小 向量的大小a等于5 我们已经在这里知道 因此 我们如何找出这一边？ 我们可以使用基本三角计算 如果我们知道角度和斜边 我们算出这个角的对边？ 因此 这里是这个角的对边 并如果我们忘记了基本的三角运算 现在我们可以重新学习 SOH CAH TOA 正弦是对边比斜边 余弦是邻边比斜边 正切是对边比邻边 角度已知 斜边已知 我们要算对边 因此 我们可以说 我们的角度的正弦 36.899度的正弦值等于 对边比斜边 在角度的对边是Y分量的大小 等于我们的Y分量的大小 y分量的大小比上斜边的大小 在这里的长度将等于5 如果两边乘以5 就得到 5乘以36.899度的正弦 等于垂直分量的大小 我们向量a的垂直分量的大小 这之前 我拿出计算器 弄清楚这是什么 让我为它的水平分量做同样的事情 在这里 我们知道这一边是角度的邻边 斜边已知 余弦是邻边比斜边 因此 我们知道 36.899度的余弦等于 余弦是邻边比斜边 这等于x分量的大小 我们x分量比斜边 斜边这里是 斜边的大小是 长度5 我们再次两边乘以5 我们得到5乘以36.899度的余弦值等于 我们的X分量的大小 我们的x分量 让我们拿出计算器算清楚 拿出深受信赖的TI-85 确保它是在度模式 所以让我查一下 是我们在度模式那里 我想确保我们是不是在弧度模式 现在退出 我们的垂直分量等于 5倍的36.899度正弦 如果我们把它取整成3 因此 这是我们的垂直分量等于3 让我们做同样的事情 我们的水平分量 对于我们的水平分量 我们有5乘以36.899度的余弦 再次 我们在百分位取整就得到4 因此 我们得到了4 因此 我们在这里的情况下 我们有 这是经典的3 4 5毕达哥拉斯三角形 我们的水平分量的大小是4 垂直分量的大小等于3 你可能会奇怪萨尔为什么我们要算得这么麻烦？ 我们将看到在下一个视频里 如果要讨论速度 在这个方向5米/秒 我们实际上可以说 我们可以分解成2个分量速度 我们可以说它以3米/秒向上 同时也以4米/秒往水平方向移动 它使我们能够把问题分解成两个简单的问题 两个一维问题 而不是一个二维问题