由于被施加 力 而发生弹性形变的物体，其因此储存的能量叫做 弹性势能 。直到力从物体上移开，这个能量才会消失，物体在恢复原本的形状过程中 做功 。这种形变包括压缩、拉伸或者扭曲物体。许多物体专门被设计出来用于储存弹性势能。例如：

一个为储存弹性势能而设计的物体通常会有很高的弹性限度，不过所有有弹性的物体都有一个可以承受的极限。当形变超过弹性限度时，物体将不再回到原本的形状。早年间，上发条的机械表风靡一时。如今，我们不会用上发条的智能手机，因为没有材料有足够大的 弹性限度 去储存具有足够大 能量密度 的弹性势能。

我们的文章 胡克定律和弹性 讨论了为什么理想弹簧受力 $F$‍ 的大小与其被压缩或拉伸的长度 $\mathrm{\Delta }x$‍ 成线性关系。

这里 $k$‍ 是大于零的数并被称作弹性系数。弹簧弹力是保守力，而保守力存在与之相关的势能。

从做功的定义中我们知道 力和位移图像下方的面积 就是力做的功。图1是弹簧力和位移的图像。因为曲线下方是三角形，并且理想弹簧没有能量损失，所以弹性势能 $U$‍ 可以从做功中算出

练习1： 卡车的弹簧弹性系数为 $5\cdot {10}^4\mathrm{N}/\mathrm{m}$‍。当空载时，卡车位于路上方0.8m处。当满载时，它的高度降低到地面上方0.7m处。卡车的四个弹簧储存了多少势能？

练习 2a： 经过训练的弓箭手能够用最大300N的力拉动弓箭，弦向后拉动了0.6m。假设弓箭与理想弹簧类似，弹性系数为多少时可以让弓箭手用到最大力气？

练习2b 当弓被拉弯时，它储存了多少弹性势能？

练习2c 假设弓箭质量为30g，它射出时的速度大约为多少？

练习2d 假设高速摄像机测量出箭的速度小于之前能量守恒计算的速度，有没有我们没考虑到的做功情况？

在我们 胡克定律和弹性 的文章中我们讨论了理想弹簧是怎样在某些特定范围里的遵循胡克定律的。一些像橡皮筋和柔性塑料的弹性材料可以像弹簧一样工作，但往往具有滞后性；这意味着让材料形变与恢复平衡位置相比，力和拉伸曲线遵循不同的路径。

幸运的是, 我们对于理想弹簧的做功的定义可以被用于一般的弹性材料。无论曲线的形状如何, 弹性势能总是可以从力与曲线下的面积中算出。

在我们前面的分析中, 我们把理想的弹簧看作是一个一维物体。在现实中, 弹性材料是三维的。其实同样的步骤仍然适用。力和弹性曲线就相当于 应力-应变 曲线。

当三维弹性材料遵循胡克定律的时候，

$\mathrm{能}\mathrm{量}/\mathrm{体}\mathrm{积}=\frac{1}{2}(\mathrm{应}\mathrm{力}\cdot \mathrm{应}\mathrm{变})$‍

练习3： 图3是橡皮筋的应力应变图。当它被拉伸（负荷）时的曲线为上方的路径。因为橡皮筋不是理想的，当松开（空载）后恢复的力会小一些。紫色阴影的区域代表了最大拉伸限度时的弹性势能。负荷时和空载时的面积差用黄色表示出来了。这代表了橡皮筋从拉伸和放松之间以热能散失的能量。

如果橡皮筋长度为 $100\mathrm{mm}$‍，宽度为 $10\mathrm{mm}$‍，厚度为 $1\mathrm{mm}$‍，当被拉伸然后放松时，散失了多少热量？

[1] http://itila.blogspot.com/2014/05/energy-density-of-spring.html