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主要内容

什么是重力势能?

学习重力势能是什么,以及如何计算它。

什么是重力势能?

我们都本能地知道,把一个重物举过某人头顶代表着一种 潜在的 危险情况。重物可能是被很安全地固定着,所以它 不一定 是危险的。我们所担心的是,无论是什么力量来保证重量不受重力的影响,都可能失效并发生意外。用正确的物理术语来说,我们关心的是 重力势能
所有保守力都有与之相关的势能;引力也不例外。重力势能通常用 Ug 符号表示。它表示一个物体由于位于引力场中的一个特定位置而做的可能性。
考虑一个质量为 m 的物体被提起 h 的高度,如下图所示。物体被滑轮和绳子垂直吊起来,所以吊箱子的力和重力,Fg,是相等的。如果 g 是重力加速度的大小,要找到此人所做的功,可以将重力的大小,Fg,乘以它通过的垂直距离,h。这是假设重力加速度在高度 h 上也是恒定的。
Ug=Fgh=mgh
一个重量在垂直上升以获得重力势能。
如果力被移除,物体就会落回地面,重力势能就会转化为下落物体的动能。我们在关于能量守恒的文章包括了一些通过理解引力势能如何转化为其他形式而解决的例子问题。
关于重力势能有趣的是,零点是任意选择的。换句话说,我们可以自由选择任意的垂直高度作为h=0的位置。对于简单的力学问题,一个方便的零点应该在实验室的地板上或桌子的表面。但是原则上,我们可以选择任何参考点——有时也称为基准点。如果物体经过零点以下,重力势能甚至可以是负的。不过,这并不构成问题;我们只需要确保在计算中始终使用相同的零点。
练习1a:如果电梯系统的整体功效为25%,那么将一个75公斤重的人吊起来50米的高度需要多少电能? 假设空电梯轿厢的质量已由一个配重适当地平衡。
电梯系统
练习 1b (延伸): 假设电梯的电费是0.10$kWhr,电梯旅程的费用是多少?
练习2:重力势能是能用于大规模实际储能的极少数形式之一。风能和太阳能资源中多余的电能需要进行大规模的储能,以便在用电高峰时输送到电网。而重力势能可以通过抽水蓄能水力发电系统来实现。下图展示了这样一个系统的示例。利用多余的能量驱动涡轮泵的马达,水被泵入了上层储集层。当能源需求很高时,这种流动就会逆转。该泵由上储层水的重力势能驱动,成为一个发电机。水可以非常迅速地释放,以满足整个城市乃至许多城市的峰值功率需求。
巴斯县抽水蓄能电站是世界上最大的抽水蓄能水力发电系统。它能够服务6000万人,能有3 GW 1的发电量。系统的高差, h,是380米。假设系统发电的效率是80%。如果一个城市在30分钟内获得3 GW 的电力,那么从上水库流出的水量需要多少?
抽水蓄能的水力发电系统

如果引力场不均匀呢?

如果问题涉及到很大的距离,我们就不能再假设引力场是均匀的。如果我们回想一下 牛顿万有引力定律,两个质量 m1m2 之间的引力会随着距离 r 平方 的增加而减小。如果 G引力常数,那
F=Gm1m2r2.
当处理大距离的重力势能时,我们通常会选择零点的位置,这可能看起来违反直觉。我们把重力势能的零点放置在一个距离为r的 无穷远处。这使得 所有的 重力势能为负。
事实证明,这样做是有意义的,因为当距离 r 变大时,重力很快趋向于零。 当你接近一颗行星时,你就会被重力束缚在这颗行星上,并且需要很大量的能量才能逃逸。 严格来说,只有当 r= 时,你才能逃逸。但是由于平方反比关系,我们可以取一个距离(渐进值),在这个距离里重力势能无限接近于零。 对于离开地球的航天器来说,这可能发生在距离地表 5107  米的高度,大约是地球直径的四倍。在那种高度下,重力加速度已经下降到地表值的1%左右。
如果我们回忆一下,做功是一个力乘以一个距离,那么我们可以看到,上面列出的重力乘以一个距离 r 能抵消了分母的平方符号。如果我们把势能的零点设在无穷远处,那么重力势能作为 r 的函数是:
Ug(r)=Gm1m2r
这个公式非常方便地描述太阳系中不同天体之间旅行的能量需求。我们可以想象我们降落在一个星球上。当我们靠近这个星球时,我们获得了动能。因为 能量守恒,我们失去了重力势能——换句话说,Ug变得更加负
这幅图引出了 重力井 的概念,你需要“爬出”重力井,才能从一个行星体转移到另一个行星体。下图显示了 冥王星 和它的卫星 冥卫一(卡戎)的重力井,数据是为一艘1000公斤重的航天器校准的。
冥王星和卡戎的重力势能井
练习3:根据上图所示,从静止在卡戎表面开始,以零速度到达冥王星表面的旅程中,需要做多少对抗重力的功?

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