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课程: 物理 > 单元 5

课程 1: 功与能

什么是能量和功?

在这里，我们学习功和能量在物理学中的意义以及它们之间的关系。

能量和功是什么?

能量是一个我们在日常生活中经常会用到的词. 虽然大多数时候这个词被使用的并不严谨, 但它确实是有一个非常具体的物理含义的.

能量是用来衡量一个东西做功的能力的. 它不是一个物质. 能量可以以很多形式被储存和测量.

尽管我们经常听人们说起能量消耗, 但是能量却从未真正的被销毁. 它只是从一种形式转化成了另一种形式, 并在过程中做功. 一些形式的能量就不如另一些形式的能量对我们来说有用—比如说, 低级的热能. 所以讨论能源的消耗和提取, 比如煤, 石油, 或风能, 比讨论消耗能量本身更合适.

一枚高速飞行的子弹有一定可以被测量的能量; 这种能量被称为动能. 这枚子弹获得了这样的能量是因为一定量的火药在失去化学势能的过程中对这枚子弹做了功.
一杯热咖啡有一定可以被测量的热能 , 它通过微波炉做的功获得了这些能量, 而微波炉又是从电网中获得了电能.

现实中, 任何时候只要做功将一种形式的能量转换成另一种形式的能量, 总会有一些能量转化成了比如热能和声能而产生损失. 比如说, 一枚传统的电灯泡能将电能转化为可见光的效率大概只有 3%, 而人类将食物中的化学能转化为有用的能量的效率大概是 25%.

我们怎么衡量能量和功?

物理中用来测量能量和做的功的标准单位是焦耳, 符号是 J. 在机械中, 1 焦的能量是用 1 牛顿的力推动一个物体前进了 1 米.

另一个你可能见过的用来描述能量的单位是 千卡路里. 一样食物里的能量含量通常被写在包装背后并且使用的单位是千卡路里. 比如一块常见的 60 克的巧克力大概含有 280 千卡路里的能量. 一千卡路里是将 1 千克水升高 1

^{\circ}

摄氏度所需要的能量.

这相当于每千卡路里是 4184 焦耳, 所以一块巧克力含有 1.17 百万焦耳或 1.17 兆焦耳的能量. 这可是很多能量!

我需要推一个重箱子多远才能完全消耗一块巧克力?

假设我们因为吃巧克力而感到内疚; 我们想知道我们需要做多少运动才能完全消耗那多余的 280 千卡路里. 让我们考虑一个简单的练习: 在房间里来回推动一个沉重的箱子, 如下图 1 所示.

将一个体重秤放在我们和箱子中间, 我们发现我们可以用 500 牛顿的力推动这个箱子. 同时, 我们使用一个秒表和卷尺来测量我们的速度. 测出来速度是 0.25 米每秒.

那么我们需要对箱子做多少功才能完全消耗那块巧克力? 功的定义,

W

, 如下:

W = F \cdot Δ x

我们要消耗那块巧克力需要做的功的量是

E = 280 cal \cdot 4184 J / cal = 1.17 MJ

因此, 我们需要移动箱子的距离,

Δ x

, 是:

\begin{aligned} W & = F \cdot Δ x \\ 1.17 MJ & = (500 N) \cdot Δ x \\ \frac{1.17 \times 10^{6} J}{500 N} & = Δ x \\ 2, 340 m & = Δ x \end{aligned}

然而, 请记住, 我们的身体在转换食物到做功的效率只有 25%. 我们实际消耗的食物能量是对箱子做功的四倍. 所以, 我们只需要推动箱子 585 米, 这仍然是超过五个足球场的长度. 已知速度是 0.25 米/秒那么我们需要:

\frac{585 m}{0.25 m / s} = 2340 s

练习: 假设我们施加在箱子上的力, 见上图 1, 开始时很小但随着我们热身而增加. 比如说, 如下图中我们可以看到随着箱子被推动的更远—也就是,

x

更大—力,

F

, 在前 30 米的时候不停的增加, 如下图 2 所示. 我们如何才能求出力在变化的时候所做的功?

如果力不是固定的, 一个解决的办法是把整个问题分成更小的部分, 每一部分的变化可以忽略不计, 最后我们再把每部分加起来. 就像我们在看速度时间图的时候学习的一样, 这可以通过计算几何的 曲线下面积 来完成.

一个力所做的功等于力与位置曲线下面积. 在图 2 中, 它是:

(200 N \cdot 30 m) + \frac{1}{2} ((500 N - 200 N) \cdot 30 m) = 10500 J

对于最前面的

30 米

位移.

相似的, 最后 40 米所做的功为:

500 N \cdot 40 m = 20, 000 J

如果我们并不是直线推动箱子?

在做这种问题的时候我们需要注意一点. 前面的公式,

W = F \cdot Δ x

, 并没有考虑到我们施加的力与运动方向并不一致的情况.

举个例子, 想象我们用一根绳子拉动盒子. 在这个情况下绳子和地面之间有一个角度. 为了解决这种情况, 我们首先画一个三角形来对力进行水平和垂直方向上的分解.

这里的关键点在于只有力的分量,

F_{| |}

, 也就是与移动方向平行的力才对物体做了功. 在上图显示的例子里, 只有力的水平分量,

F cos (θ)

, 在对箱子做功因为箱子只在水平方向上进行了运动. 这意味着对于一个以角度 θ 作用在箱子上的力所做的功有一个更通用的公式:

W = F_{| |} \cdot Δ x

W = (F \cos θ) \cdot Δ x

被经常写作,

W = F Δ x \cos θ

练习: 假设我们用一根绳子拉动盒子, 并且绳子和地面之间的夹角是 30º. 这次我们沿着绳子用 500 牛顿的力拉动. 如果我们这次仍然拉动箱子 585 米我们可以吃多少巧克力?

我们可以通过下列公式求出在盒子上所做的功:

W_{在盒子上} = F Δ x cos θ = (500 N) (585 m) cos 30^{\circ}

W_{在盒子上} = 253, 312 J

并且因为我们之前声明了人在从食物转化到功上只有 25% 的效率. 我们实际消耗的能量是作用在盒子上的功的四倍. 所以, 我们的身体所做的总功大概为

W_{身体做的} = 4 \times W_{在盒子上} = 4 \times 253, 312 J

W_{身体做的} = 1, 013, 248 J

在这篇文章的前面, 我们知道储存在一块 280 千卡路里的巧克力里的能量是

1.17 \times 10^{6}

焦耳.

所以, 我们可以通过取人所做的功与巧克力里能量的比值来得到这块巧克力的多少能量被消耗了. 换句话说就是:

巧克力的部分 = \frac{W_{身体做的}}{E_{巧克力里的}} = \frac{1, 013, 248 J}{1.17 \times 10^{6} J} = 0.87

所以, 你在盒子上所做的功大概会燃烧巧克力里卡路里量的 87%.

警告: 实话说, 身体在任何过程中所燃烧的卡路里的量取决于很多因素—比如新陈代新, 人体工学—所以我们得到的结果应该被认为是一个大致的估计而不是一个准确数据.

那如果是举起重物呢?

在之前的例子中, 我们通过推动盒子来对盒子做了功. 在这样的情况下, 我们做的功是用来抵抗摩擦力的.

另一种常见的锻炼方式是举起重物. 这种情况下我们抵抗的是重力而不是摩擦力. 使用牛顿定律我们就可以求出需要的力,

F

, 来举起一个重为

m

的物质, 并把它放在一个高度为

h

的架子上:

F = m g

位置的变化—之前的

Δ x

—就是高度, 所以我们在举起重物的时候所做的功,

W

, 就是

W = m g h

我们所做的举起重物的练习会使能量以重力势能的形式被储存起来. 这个能量被称为势能是因为它具有在任何时刻被释放都会摔向地面的潜在能量.

因为我们所施加的力与重物的位移方向一致所以我们做的是正功, 在这里是向上. 而在举起重物的时候重力对物体所做的功是负的因为重力的方向与位移方向相反. 同时, 因为重物被举起来之后处于静止状态, 我们就知道我们所做的功与重力所做的功完全抵消. 我们所做的功是

m g h

, 重力所做的功是

- m g h

. 当我们研究动能的时候会再来讨论这个.

好的, 现在让我们加上一些数字来求出我们可以通过举起一个重 50 千克的物体 0.5 米能消耗掉多少巧克力. 对重物所做的功是

W = (50 kg) (9.81 m / s^{2}) (0.5 m) = 245.25 J

好, 那么这相当于多少块 280 千卡路里—也就是

1.17 \times 10^{6}

焦耳—的巧克力? 245.25 J 大概

\frac{1}{4770}

块巧克力. 但是记住, 我们的身体大概只有 25% 的效率, 所以这个人所做的功实际上是四倍, 大约为 981.8 J, 也就是

\frac{1}{1190}

块巧克力. 所以, 如果我们每 2 秒可以举起这个重物一次, 我们大概需要 2380 秒或 40 分钟的运动才能消耗掉这块巧克力!

提示: 当我们在使用这样的公式的时候, 确保单位的正确性是很关键的. 所有等号左边的单位必须等于所有等号右边的单位. 记住 1 J 是 1 N·m 的另一种写法. 并且因为

F = m a

, 我们知道 1 N 是 1

kg \frac{m}{s^{2}}

的另一种写法. 所以把这些整理起来, 单位能量 J 等于

1 焦耳 = 1 N \cdot m

1 焦耳 = 1 kg \frac{m}{s^{2}} \cdot m = 1 kg \frac{m^{2}}{s^{2}}

所以当某人说 1 焦耳的时候, 就是简称 1

kg \frac{m^{2}}{s^{2}}

那如果只是单纯的拿着一个重物不动呢?

当人们思考关于功的概念的时候一个经常出现的疑惑是如果只是单纯的拿着一个重物并保持静止, 抗衡重力. 我们并没有将重物移动任何距离, 所以我们没有对重物做功. 我们也可以通过把它放在桌子上来实现这一点; 很明显桌子也没有做任何功来保持重物的位置. 但是, 我们通过经验知道保持做同一件事的时候我们会累. 所以这是为什么?

原来这里实际发生的事情是这样: 我们的身体对我们的肌肉做功来保持我们提起重物所需要的肌肉张力. 身体通过向每块肌肉发送神经冲动来做到这一点. 每个神经冲动会导致肌肉暂时收缩然后舒展. 这一切都发生的太快了以至于我们最多只会在最开始的时候感到轻微的抽搐. 不过最后, 肌肉中的化学能不够了所以我们没有办法继续了. 我们就会开始颤抖然后必须休息上一会. 所以其实做了功, 只是没有做在重物上.

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