二阶线性齐次微分方程1

现在我们要离开 一阶微分方程的世界 来到二阶微分方程的世界 什么意思呢？ 意思是 现在我们开始 涉及二阶导数了 我马上要给大家展示的一类是。。 这可能是最有用的一类 如果你正在学经典物理的话 就是二阶线性微分方程了 什么是二阶线性微分方程呢？ 我想 在很开始的几课里面 我们接触过了 它们看上去是这样的 如果我有。。。仅关于x的函数 乘以y关于x的二阶导数 加上b(x)乘以 y关于x的导数 加上c(x) 乘以y等于某函数 仅关于x的函数 为了复习一下术语 y是二阶的 因为这里面的最高阶 是二阶导数 所以它是二阶的 什么是线性的呢？ 这里的所有系数 我想 要认真对待这些系数项 因为通常我们认为 它们都是常数 但这里是以x的函数作为系数 为了使得 它是线性方程 a(x) b(x) c(x)和d(x) 它们都只是关于x的函数 正如所写的那样 现在 在我们来解普遍情况之前 先来处理特殊情况 也就是a、b、c都是常数 d是0 这看上去怎样呢？ 重写一下 A不是函数了 它只是一个数字 A乘以 y关于x的二阶导 加上B乘以一阶导 加上Cy 第四个常数没有了 不再是d(x) 让它等于0 让它等于0之后 我给大家介绍的是 另一种形式的齐次微分方程了 称它为齐次的 我实在没有办法 把这些个二阶方程 和之前介绍过的一阶齐次方程 联系起来 这两种“齐次” 看上去没有什么联系 我想 它们只是恰巧有一样的名字 尽管它们没有联系 至于为什么它称为“齐次” 是因为这为0 所以这使得它是齐次的 事实上 我倒是看出了 这种方程 和均脂牛奶的联系 因为你想啊 所有齐次方程的解 当你解出来的时候 它们总是等于0 所以它们也是“均质”的 我想 这勉强说是有点联系吧 所以 我们可以称这为二阶的 因为A、B、C都是函数。。。 它们甚至不是x、y的函数 它们只是常数 二阶线性齐次。。。 因为它们等于0 我想 在某种程度上 它们解起来倒是挺有趣的 事实上 它们很有用 因为 经典物理中有很多应用 这就是大家要解得 但它们解起来很有趣 因为可以归结为代数2的问题 马上我就介绍解法 但现在还是细想一下 想想这些解 都有什么性质 我们来抛砖引玉啦 假设g(x)是一个解 意味着 Ag''(x) 加上Bg' 加上Cg 等于0 对吧？ 这是一样的东西 现在 我的问题是 如果g乘上常数呢？ 那还是一个解么？ 我的问题是 c1g(x) c1g 还是一个解吗？ 好的 我们来试试 把这个代入我们的原方程 A乘以二阶导。。。 换种颜色 用棕色吧 A乘以二阶导。。。 每次求导的时候 常数都可以提出去 所以是 Ac1g'' 加上。。。对一阶导也是那样 B乘以c1g' 加上C C和c1是不同的 乘以g 看看这是否等于0 我们可以把c1提出来 得到c1乘以Ag'' 加上Bg'+Cg 注意啦 我们知道 因为g(x)是一个解 我们知道这是对的 所以这会是0 因为g是一个解 如果这是0 c1乘以0也是0 这里的式子也会是0 另一种理解方式是 如果g是一个解 是这个二阶线性 齐次微分方程的解 g乘以某常数也会是一个解 所以这也是微分方程的一个解 然后下一个我想说的性质是。。。 不要担心 这能行 我想问的下一个问题是 我们知道g(x)是 微分方程的一个解 如果我告诉你们 h(x)也是一个解呢？ 我的问题是 g(x)+h(x)也是解吗？ 如果这两个函数都是解 加一起的话 那还是 原方程的解吗？ 好吧 我们把这个 代入我们的原方程 对吧？ A乘以这个的 二阶导 好吧 这很简单粗暴 这是g''+h'' 加上B乘以。。。 它的一阶导 是g'+h' 加上C乘以。。。函数g+h 现在怎么做？ 用一下分配律 得到Ag'' 加上Ah'' 加上Bg' 加上Bh' 加上Cg 加上Ch 现在重排一下 得到A。。。 处理一下这个 所有g项 A乘以g'' 加上Bg' 加上Cg 共这三项 加上Ah'' 加上Bh' 加上Ch 现在 我们知道g和h都是解 原微分方程的解 根据定义 如果g是 原方程的解 这就是那方程的 左边 这等于0 所以它会等于0 我们展示过 整个表达式是0 如果g是微分方程的解的话 是这个二阶线性 齐次微分方程的解 h也是解的话 把它们加到一起 和还是一个解 总的来说 如果g是解 h也是解 加到一起还是解 之前看到过 乘上任意常数也是解 所以可以说 某常数乘以g(x) 加上某常数乘以g(x） 还是一个解 也许这些常数有某一个 会是0 我不确定 但无论如何 这些都是 很有用的性质 可以用来理解二阶齐次线性微分方程 下一个视频中 我们会把这些性质 应用到解上面的 你们会发现 它们确实很简单直接 我会说 比之前的一阶齐次方程 或者恰当方程 都要简单得多 真的很简单 下次见啦