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主要内容

向量的加减

Sal展示了如何通过向量的分量相加来求向量的和。然后他用图像解释了向量相加的意义。

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视频字幕

我们来做一些练习 希望对二维向量的加减法 有一些直观的认识 假设有向量A 它的x分量是,我不知道 3,它的y分量是- 1 假设我们还有一个向量B 向量B,假设它的 x分量是2,y分量是3 现在,我们先想想 A + B等于多少? 那么结果向量是什么呢? A + B等于什么? 我鼓励你们暂停视频 想想这是什么 惯例是 如果我们求两个向量的和 我们可以把它们的x相加 它们的x分量得到新的x分量 然后把它们的y分量加起来得到新的y分量 所以向量A加向量B的x分量 等于3加2 这是x分量,我们知道是5 y分量是- 1 - 1 + 3 1 + 3 所以得到的向量的x分量是5 y分量是 - 1 + 3等于2 这很简单 现在我们不把它们相加 而是想一下如果减去它们会怎样 那么让我们想想A 向量A减去向量B等于多少 我猜你们可能能猜到或者至少想一下 如果减去向量B 而不是加上向量B会怎样 你可能已经猜到了 我们不是把相应的分量相加,而是相减 所以我们的x分量就是 A的x分量减去B的x分量 因为它是向量A减去向量B。 所以x分量是 3 - 2 3 - 2 我们的y分量是 A的y分量- 1 减去B的y分量 所以- 3 所以得到的向量是 就是向量3-2 x分量是1 然后y的分量 -1减3等于-4 现在我给你们展示的是 这是二维向量加减法的惯例 比如向量A和B 我们想一下 如何直观地描述发生了什么 我们先直观地描述一下向量A和向量B的相加 我画一些坐标轴 这是y轴 y轴,让我们看看 y的最大值是 y的最大值是3 最小的是- 4 然后,我在某个地方画出x轴 哎呀,我不是故意的 我是不小心放大的 好了 x轴,画在这里 这是x轴,我们看一下 x的最大值是5 最低的是3 事实上,我可以专注于 我可以只关注 我只关注右边 这是y 然后把x画成这样 x轴 现在我们来看看 向量A是3, -1 1 2 3 - 1 如果我们想把它化成标准形式 我们可以把它的起始点放在原点 它的端点是(3,-1) 我们可以这样画 我们也可以平移它 只要它有相同的大小和方向 我们可以平移它 这就是向量A 现在向量B,我们可以在原点处得到它的初始点 我们可以这样画 所以x坐标是2 y坐标1 2 3 所以它的终点可能在这里 我们可以把向量B画成这样 但是如果我们要把向量B加到向量A上 就像我们在这里得到的,我们要做的是平移向量B 这样它,我猜你会说 尾巴从A的头部开始 或者说它的起始点从A的终点开始 我们来做一下 如果从这里开始 在x方向上移动2个单位 所以我们要在x方向上再移动2个点 在y方向上移动3个单位 1 2 3 最后到这里 注意,这是同一个向量,向量B 我只是平移了一下 大小和方向 都和我之前画的一样 就是这个向量 我只是向右平移了一下 现在我们这样做,这是向量A 加上向量B 我把向量B的起始点 放在向量A的终点 我把它移到这里 现在我可以求出结果向量了 A + B,得到的向量A + B 从A的起始点 到B的终点 它从这里开始,然后到这里,注意 这个向量在x方向上移动了5个 在y方向上移动了2个 这是向量 这是向量A加上向量B 但是也要想想当我们做A - B的时候会发生什么 我们仍然可以有向量A,就像我们画的那样 而不是把向量B的尾部 或者初始点放在向量A的终点 我们会把- B代入 所以- B就等于 大小相同但方向相反 所以不是向右移动2个单位,向上移动3个单位 而是向左移动2个单位,向下移动3个单位 左边两个,下面一个,两个,三个 我们会在这里结束 所以,如果你减去A - B 也就是A + (- B) 所以- B看起来是这样的 这是完全相反的方向 就像这样 如果你从A的起始点出发 到达- B的终点现在 这都是手绘的,所以可以更精确一点 注意我们 到达点(1,-4) 所以这个向量, 我换个颜色,这个棕色 哎呀,这不是我想做的 这个棕色的向量 这是向量A - B,然后这个白色的 实际上,我用另一种颜色来写 这个洋红色的向量,这是A + B 希望这讲得通 如果给定了这些分量 只要把向量相加,就把相应的分量相加 如果你要减去这些向量 如果你要从A中减去B 减去B的分量 从A的相应分量中减去相应的分量