方程组解的个数：水果的价格 （一）

国王的谋士阿贝格拉大人冷眼旁观着你和国王还有鸟儿之间的对话 他认为自己才是这个王国最有智慧的人、是国王最亲近的谋臣， 于是走上前说道：“倘若你和这只鸟如此聪慧” “不如就由你们来解解水果单价之谜吧？” 国王答道：“好，那可是我们尚未解开的谜题啊！” “水果单价。阿贝格拉，给他们讲讲这个题目吧！” 阿贝格拉便回答说： “事情是这样的，我们想要追踪水果的价格” “但是在去集市的时候却忘了记录具体单价，不过我们知道总共花了多少钱” “也知道买的数量多少。我们知道一周前去水果市场的时候” “我们买了2磅重的苹果” “还有1磅重的香蕉” “那次买水果” “我们总共花了3美元” “在那之前去买的时候” “我们买了6磅重的苹果” “还有3磅重的香蕉” “那次购买的总价是15美元” “那么苹果和香蕉的单价分别是多少？” 你看了看鸟儿 鸟儿也看了看你，然后它在国王耳边低声说了几句，国王就说道： “鸟儿说了，我们先要定义几个变量，那么我们就开始用代数形式来表述这个问题” 于是你就开始照做。我们要求的是苹果和香蕉每磅的单价 我们先设变量 设a为苹果单价，也就是每磅苹果多少钱 设b为香蕉的单价 也就是每磅香蕉多少钱。我们怎样理解这个信息呢？ 2磅苹果和1磅香蕉总共花了3美元 那么每磅苹果多少钱？可以写为 2磅×每磅单价，这就是这次购买苹果的总价 那香蕉的总价是多少？可以写为 1磅×每磅单价。就得到了b，这就是香蕉的总价 我们知道香蕉买了1磅。因此苹果和香蕉的总价 可以表达为2a+b，我们也知道总价的金额是3美元 现在，我们用同样方法来列第一次买水果的式子 6磅苹果的总价就是6磅×a美元/磅 香蕉的总价表达式也同样 我们买了3磅香蕉 每磅单价是b 所以这个情景中 苹果和香蕉的总价就是15美元 让我们想想怎样解这道题 我们可以用消元法，也可以用代入法 不管什么思路，我们都还可以用作图法来解 首先试试消元法 我要做的第一件事是 要消去 这里的a变量。这个式子里有2个a 这个式子里有6个a 因此，如果我把右边的方程两边同乘以-3 2a就变成了-6a 就可以和这里抵消了 我就按这个思路来做 我要把整个方程式 ×-3 -3×2a=-6a -3×b=-3b -3×3=-9 现在我们就可以把两个方程相加 就是把这个方程的左边和那个方程的左边相加 把这个方程的右边和那个方程的右边相加 我们是把方程两边同时加上了相同的项 因为我们已经知道这两个是等价的 我们就这样来解 方程的左边，6a和6a相互抵消了 但是有意思的来了，3b和3b也相互抵消了 所以左边只剩了个0 那右边是什么情况呢？ 15-9=6 我们就得到了一个奇怪的命题！所有的变量都不见了 剩下的只有这个奇怪又毫无逻辑的命题 0=6，这个肯定是伪命题 这到底是什么情况呢？ 你便问道：“这是怎么回事？”然后望着鸟儿 因为鸟儿好像才是这里最学识渊博的那一位 至少是最学识渊博的那一只吧 于是鸟儿又在国王耳边低语 国王又接着说道：“鸟儿说了，这题无解” “你至少应该作作图，试着找出原因” 鸟儿似乎很清楚它在说什么，于是你便答应了 “让我试试用作图的方法解这两个方程” “看看其中真相” 你便把每一个方程 用y轴截距式 或斜截式进行作图 你对他们说道： “让我这两个方程来解b” 为了达到这个目的 你只要两边同时减去2a 如果将第一个方程两边同时减去2a 就得到了b=-2a+3 然后来对第二个方程进行变形 首先要让两边同时减去6a 我就写在这里 你就得到了3b=-6a+15 然后两边同时除以3 就得到了b=-2a+5 让我再用回刚才那种绿色 第二个方程就变成了b=-2a+5 我们还没有作图 但这里已经可以看出点儿意思了 当用a来表示b的时候 这两个直线方程的有同样的斜率 但它们在b轴上的截距又不想等 让我们在图上作出这两条直线，看个究竟 我先把坐标轴画出来，这是我的b轴 这是我的a轴 第一个方程在b轴上的截距是+3 我们来看，1，2，3，4，5 第一条直线在b轴上的截距是+3 斜率是-2 也就是说这条直线上每向右移动一个单位长度 就要向下移动两个单位长度，往右挪一格，往下挪两格 所以这条直线看上去是这样的 我尽量把它画直一点 看起来就是这样 我来画绿色的这条直线 这条绿色的直线在b轴上截距是5 就在这个位置，而它的斜率 刚好也是-2 所以看上去就是这个样子 你一下就能看出鸟儿说的是对的 这个方程组是无解的 因为表示这两个约束条件的直线不相交 这两条直线没有交点 因此鸟儿说的是正确的 这个方程组无解，没有一组x和y的值能够让这个命题为真 0不可能等于6，这两个之间没有任何交集 于是你的脑海中灵光一闪 立刻明白了阿贝格拉是在故意给你使坏 于是你说道：“阿贝格拉” “你给我的信息不一致” “这是一个不一致的方程组” “不一致” 这个词有时用来指一个方程组没有解 代表方程的直线不相交 因此他提供的信息是不正确的 我们推断不出他是在说谎，这是有可能的 还是他加错了 还是说苹果和香蕉的价格 在前后两次去水果市场之间发生了变化 就在这时，鸟儿又对着国王的耳朵悄悄说道： “嗯，这个人代数做得还不错。”