坐标平面上的梯形面积

[画外音]我们这里有一个梯形 在坐标平面上，我们要做的是 通过这个图表求这个梯形的面积 像往常一样，暂停这段视频 看看你能不能想出来 我们知道如何计算梯形的面积。 我们有做过得出这个公式的视频。 梯形的面积，简单讲 等于底边长度的平均数 我们可以写下来第一条底边b1+第二条底边b2 ，乘高 所以这个图上的底边是多少？ 这个图上的高又是多少？ 我们可以发现第一条底边b1 等于线段CL 所以第一条底边b1是线段CL的长度 我用玫红色画出来 这就是第一条底边 第二条底边b2 我们用不同的颜色画出来 第二条底边b2等于线段OW的长度 第二条底边b2等于 线段OW的长度 然后我们的高h 高就是这条顶垂线 图上在这里划了一条虚线 可以发现它和第一条底边相交 可以说这条线和线段CL成直角 所以这个就会是高 如果我们知道了每一个量的长度 b1 b2 h的数值已知 也就是这些线段的长度 我们就可以得出这个梯形的面积 再重申一遍，如果你对这个很不熟悉 或者你很好奇，我们有很多视频 详细讲述了这个公式的证明 或者是得出这个公式的过程 你甚至可以把这个梯形分解 分成两个三角形和一个长方形 这是一种思路 现在我们来看看怎么算出这个梯形的面积 首先，b1是多少？ b1是线段CL的长度 可以这样想，我们已经知道了 这些点的坐标 可以这样想，我们可以用距离公式 距离公式就是 勾股定理的应用 所以 b1等于 C点到L点x轴变化值的平方 所以说x轴的变化值是 从x=-4 到x=8，从C到L 所以x轴的变化值等于8减-4 等于12 和C点到L点在y轴的变化值 从y=-1到y=5 所以在y轴的变化值 等于5减-1 等于6 数一下格子同样可以得出高为6 我们需要得出的线段 它的长度等于这个直角三角形的斜边 这个直角三角形一边长12 一边长6 所以这条斜边的长度 通过勾股定理 我刚刚提到过，距离公式 就是勾股定理的应用 结果等于 x轴的变化值，12的平方 加上y轴的变化值，加6的平方 这就等于144加36 144加36的平方根 等于180 也就是，180等于36乘5 所以等于6根5 还是不要跳过步骤 等于36乘5的平方根 36的平方根等于6 所以是6倍的根号5 现在我们来算b2 b2等于 x变化值的平方 与y变化值的平方，两者和的平方根 同理，我们可以 在这里画一个直角三角形 来算出需要求的值 所以x轴， x是从-2变化到4 所以我们x的变化值是6 我们y的变化值 从y=5到y=8 所以y轴的变化值等于3 所以我们只需要应用勾股定理 来找到斜边的长度 它就等于平方根下 x变化值的平方，也就是6的平方 加上y变化值的平方，也就是加上3的平方 等于 36加9 等于45，45的平方根 等于9乘5的平方根 等于3倍的根号5 现在我们只剩一个需要计算的了 我们需要算出h， h的长度 h等于 从W到N x的变化值是2 x的变化值是2 我们从x=4到x=6 如果用纯数字化的方式 可以这样想，端点x=6 起始点x=4 6减4等于2 在图像上可以比较直观地看出来 所以h就等于平方根下 2的平方加 我把这个平方根写得好看一点 所以h等于x变化值的平方 加上y变化值的平方 y的变化值是-4 y的变化值是-4 但我们要将它平方 所以就会得出16 等于 4加16的平方根 20的平方根 也就等于4乘5的平方根 等于2倍的根号5 根号5反复出现还是比较方便计算的 现在我们只需要把这些值放入 原本的公式里 所以 这个梯形的面积等于 二分之一乘6根5 6根5 加3根5 加3根5 然后画上括号 乘2根5 乘2根5 然后看看我们能不能简化一下式子 6根5 加3根5 等于9根5 二分之一和2 相乘等于1 所以我们剩下了 9根5乘根5 根5乘根5 等于5 所以最终等于9乘5 面积为45