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课程: 高中几何 > 单元 6

课程 1: 距离与中点

为解析几何做好准备

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解析几何将几何图形与坐标平面和代数表示联系起来。让我们来复习一下坐标平面、距离和位移、斜率以及一些有用的运算技巧，做好准备。

我们来重新回顾一些在开始学习高中解析几何相关知识时可能会派上用场的概念。你会看到关于每个概念的总结，与之配套的例子，相应练习的链接，以及你在之后这个单元会用到它的原因。

因为解析几何汇集了很多想法和概念，所以这篇讲义将会有很多章节。

本文仅包含早期课程中的概念。在这门高中几何课程中也有一些对理解解析几何很重要的概念。如果你还没有掌握毕达哥拉斯定理/勾股定理课，建议先复习一下，以助于进一步深入了解本单元内容。

坐标平面上的点

这是什么，我们为什么需要它？

我们使用一个坐标平面来显示二维空间中的相对位置。我们用

(x, y)

的形式描述平面上的每个点，其中

x

表示水平位置，

y

表示垂直位置。指向

左边是负

x

-坐标，指向右侧的点是正

x

-坐标。同样，原点下方的点在

y

-坐标上，原点上方的点在正

y

-坐标上。

练习

问题1

在下列坐标平面中找出这些点的有序数对。

点	有序数对
$\begin{aligned} m a r o o n D A \end{aligned}$ ‍	$($ ‍ 你的答案是一个整数，例如 $6$ ‍ 一个最简真分数,如 $3 / 5$ ‍ 一个最简假分数,如 $7 / 4$ ‍ 一个混合带分数，例如 $1 3 / 4$ ‍ 一个精确的十进位小数，例如 $0.75$ ‍ pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$ , 你的答案是一个整数，例如 $6$ ‍ 一个最简真分数,如 $3 / 5$ ‍ 一个最简假分数,如 $7 / 4$ ‍ 一个混合带分数，例如 $1 3 / 4$ ‍ 一个精确的十进位小数，例如 $0.75$ ‍ pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$ $)$ ‍
$\begin{aligned} p u r p l e D B \end{aligned}$ ‍	$($ ‍ 你的答案是一个整数，例如 $6$ ‍ 一个最简真分数,如 $3 / 5$ ‍ 一个最简假分数,如 $7 / 4$ ‍ 一个混合带分数，例如 $1 3 / 4$ ‍ 一个精确的十进位小数，例如 $0.75$ ‍ pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$ , 你的答案是一个整数，例如 $6$ ‍ 一个最简真分数,如 $3 / 5$ ‍ 一个最简假分数,如 $7 / 4$ ‍ 一个混合带分数，例如 $1 3 / 4$ ‍ 一个精确的十进位小数，例如 $0.75$ ‍ pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$ $)$ ‍
$\begin{aligned} b l u e E C \end{aligned}$ ‍	$($ ‍ 你的答案是一个整数，例如 $6$ ‍ 一个最简真分数,如 $3 / 5$ ‍ 一个最简假分数,如 $7 / 4$ ‍ 一个混合带分数，例如 $1 3 / 4$ ‍ 一个精确的十进位小数，例如 $0.75$ ‍ pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$ , 你的答案是一个整数，例如 $6$ ‍ 一个最简真分数,如 $3 / 5$ ‍ 一个最简假分数,如 $7 / 4$ ‍ 一个混合带分数，例如 $1 3 / 4$ ‍ 一个精确的十进位小数，例如 $0.75$ ‍ pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$ $)$ ‍

去坐标平面上的点可以找到更多的练习。

我们会在哪用到它？

我们将在几乎每一个解析几何单元的练习中使用坐标平面上的点！以下是一些练习，其中查看坐标平面可能会有所帮助：

负数的加法、减法和平方

这是什么，我们为什么需要它？

负数让我们在数字中包含方向信息。例如，一个正垂直变化意味着上升，但是一个负的垂直变化意味着下降。我们将寻找坐标平面上点之间的距离和斜率。负坐标点位于

。

练习

问题2.1

相加。

- 7 + 4 =

尝试更多练习：负数的相加, 负数的相减, or 以整数为基数的指数。

我们会在哪用到它？

下面是一些需要复习负数的练习：

点之间的距离和位移

这是什么，我们为什么需要它？

距离是两点之间的距离，并且永远是非负的。位移是从一个点到另一个点的变化量，包括变化的距离和方向。

我们经常把距离和位移分成水平和垂直两部分。当我们只处理一个方向的变化（仅水平或垂直），那么距离就是位移的绝对值。

我们用位移来计算斜率，用点之间的水平和垂直距离来计算它们的总距离（借助毕达哥拉斯定理）。

练习

问题3.1

完成从点 $A$ ‍ 到点 $B$ ‍ 距离和位移表格。

	位移	距离
水平	你的答案是一个整数，例如 $6$ ‍ 一个最简真分数,如 $3 / 5$ ‍ 一个最简假分数,如 $7 / 4$ ‍ 一个混合带分数，例如 $1 3 / 4$ ‍ 一个精确的十进位小数，例如 $0.75$ ‍ pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$	你的答案是一个整数，例如 $6$ ‍ 一个最简真分数,如 $3 / 5$ ‍ 一个最简假分数,如 $7 / 4$ ‍ 一个混合带分数，例如 $1 3 / 4$ ‍ 一个精确的十进位小数，例如 $0.75$ ‍ pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
垂直	你的答案是一个整数，例如 $6$ ‍ 一个最简真分数,如 $3 / 5$ ‍ 一个最简假分数,如 $7 / 4$ ‍ 一个混合带分数，例如 $1 3 / 4$ ‍ 一个精确的十进位小数，例如 $0.75$ ‍ pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$	你的答案是一个整数，例如 $6$ ‍ 一个最简真分数,如 $3 / 5$ ‍ 一个最简假分数,如 $7 / 4$ ‍ 一个混合带分数，例如 $1 3 / 4$ ‍ 一个精确的十进位小数，例如 $0.75$ ‍ pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

尝试更多练习：点之间的距离：垂直和水平.

我们会在哪用到它？

下面是一些需要复习距离和位移的练习。

简化平方根式表达式

这是什么，我们为什么需要它？

对于几何，平方根函数以正方形的面积作为输入，并将正方形的一条边的长度作为输出。当我们用毕达哥拉斯定理求距离时，我们将使用平方根表达式。我们将使用这些距离来计算坐标平面上图形的面积和周长，并确定一个点是否是圆的一部分。

练习

问题4.1

化简。
将下面二次根式化成最简二次根式。

\sqrt{180} =

如需更多练习，请前往简化方根和简化方根表达式。

我们会在哪用到它？

下面是一些需要复习平方根表达式的练习。

缩放比例关系

这是什么，我们为什么需要它？

比例关系是指之间比率始终保持不变的两个量。

斜率是垂直位移（或变化）与水平位移之间的一种比例关系。我们可以缩放两点之间的位移，以找到它们之间的第三个点，以给定的比率将线段划分为不同长度。

练习

问题5

双数轴显示，要制造

4

个苹果派，需要

7

公斤的苹果

(kg)

。

选择正确标明生产 $1 、 2$ ‍和 $3$ ‍ 个苹果派所需的苹果千克数的双数轴。

如需更多练习，请去创建双射线。

我们会在哪用到它？

以下是一个需要复习缩放比例关系的练习：

分隔线段

斜率

这是什么，我们为什么需要它？

斜率是测量一条直线有多陡的一种方法。我们测量斜率为

\frac{Δ y}{Δ x}

，它是垂直位移与水平位移的比值。

我们可以用一对直线的斜率来证明它们是平行的（或者不是平行的）。然后我们可以判断我们是否可以将所有这些关系应用到具有平行线的图形的角度之间。如果用斜率来证明三角形的两条边是垂直的，我们可以用三角比来关联它们的角度和边长。

练习

问题 6.1

求经过点 $(- 4, 2)$ ‍ 跟 $(3, - 3)$ ‍的直线的斜率？

如需更多练习，请去两点间的斜率, 斜率截距简介, 和方程中的斜率。

我们会在哪用到它？

下面是一些需要复习斜率的练习：

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