证明：圆内接正三角形

这儿有一个圆 这是它的直径 让我把这条直径画好些 恩 不错 这就是这个圆的直径 圆的一条直径 直径画好了 现在有一个三角形 它的一条边就是直径 这条边所对的角的 顶点在圆周上 就是说 直径所对的那个角在圆周上 这个三角形应该 是这样的 这节课我所要证明的就是 这个三角形其实 是一个直角三角形 90度的角所对的边 就是直径 我先不在这里标记这个角 因为它不方便后面的证明 看看我们应该怎么证明它呢 我们已经学了圆周角的概念 圆周角与它同弧所对的圆心角之间的关系 看看能不能利用上 这是一个圆周角 记为θ 我们说 这个点就是这个圆的圆心 那么这个角应该是一个圆心角 让我再画一个三角形 又画了一条线 这个就是圆心角 这个是半径 这同样是一条半径 实际上它们两个的长度是相等的 几节课以前我们学过 这个圆周角 对着这个圆弧 而这个弧所对的圆心角 将是这个圆周角的二倍 这一点我们几节课之前证明过 所以这个角是 2θ 是同弧所对的圆心角 现在看这个三角形 这是个等腰三角形 我可以把它旋转 这样画出来 假设我把它翻过来 这条边 这条边 还有下面绿色的这条边 这两条边的边长都是r 顶角是2θ其实我只是把这个三角形拿出来 并且旋转以后 画出来 这条边就是刚刚的那条边 因为这两条边相等 这是个等腰三角形 这两个底角也相等 这个角和这个角相等 在这里画的这个三角形里 这两个角就是那对相等的底角 我看看 θ已经用过了 我们用x来表示这些角 那么这个和这个角都是x 那x是多少呢 x + x + 2θ = 180 它们在同一个三角形中 我把它写下来 我们已经得出了 x + x + 2θ = 180 也就是2x + 2θ = 180 2x = 180 - 2θ两边同时除以2 得出 x = 90 - θ 所以x = 90 - θ 这个有什么用呢 让我们再看看这个三角形 这个三角形的这条边 也是这个圆的半径 这个长度我们 已经标记过了是半径r 所以这个三角形也是等腰三角形 这两边相等 这两个底角也相等 这个是θ 所以这个角也是θ 事实上 利用这两个角都是θ 我们也证明了之前的那个 关于圆周角的结论 就是同弧所对的圆心角和圆周角 之间的关系 所以这个是θ 这个也是θ 因为是等腰三角形 这里的这个角是什么呢 它应该是 θ 加上 90度减去θ 就是 θ加上90 减去 θ θ 消掉了 所以不论三角形是怎样的 只要它的一条边是直径 并且这条边所对的角或者说顶点 在圆周上 那么这个角 就是直角 这个三角形就是一个直角三角形 我可以随机画一些三角形 在这取一个点 这样的 这也是个直角三角形 或者这样画 那么 这也是直角 对任意一个三角形 都可以做相同的证明 事实上 我刚刚所画的那个三角形是很普通的 所有它对于这所有的三角形都适用