主要内容

课程: 高中几何 > 单元 3

课程 4: 关于三角形性质的定理

全等和相等的概念

学习何时在几何证明中应用同余具有反身性、传递性和对称性的性质。学习相等度数与相等图形之间的关系。

论证的方法有很多，有些方法相较其他方法更为正式。在非常正式的证明中，我们会向你证明那些看似明显的命题。我们证明它们的原因是，这些说法只对某些类型的关系有效。例如，在相等关系中成立的命题，在不等关系中就不一定成立。

我们一起看一下这些属性。我们用符号

★

来表示一个未知关系。

反身性

当关系

★

拥有反身性时，这表示这一关系对于一个事物和其自身之间成立。因此

A ★ A

。

有哪些关系具有此属性？

关系	符号	例子
等式	$=$ ‍	$- 5 \frac{3}{8} = - 5 \frac{3}{8}$ ‍
全等	$≅$ ‍	$∠ M N P ≅ ∠ M N P$ ‍
相似三角形	$\sim$ ‍	$△ M N P \sim △ M N P$ ‍

我们常常在有共用边或共用角的图形运用反身性。

当我们解析

△ M N Q

和

△ P N Q

的关系时，由于反身性，我们会提到

\overset{―}{N Q} ≅ \overset{―}{N Q}

。

有哪些关系不具有此属性？

严格不等式没有反身性。例如，

3 ≮ 3

。

成为某人的母亲也不是一种反身性。我不是我自己的母亲。

对称性

当关系

★

具有对称性，这表示如果此关系对两件事物成立，那它是双向成立的。如果

A ★ B

，那么

B ★ A

。

有哪些关系具有此属性？

关系	符号	例子
等式	$=$ ‍	如果 $8 = 11 - 3$ ‍，那么 $11 - 3 = 8$ ‍。
全等	$≅$ ‍	如果 $\overset{―}{V W} ≅ \overset{―}{X Y}$ ‍，那么 $\overset{―}{X Y} ≅ \overset{―}{V W}$ ‍.
相似	$\sim$ ‍	如果 $A B C D \sim L M N P$ ‍，那么 $L M N P \sim A B C D$ ‍。
平行	$∥$ ‍	如果线段 $m ∥$ ‍ 线段 $n$ ‍，那么线段 $n ∥$ ‍ 线段 $m$ ‍。
垂直	$⊥$ ‍	如果 $\vec{S T} ⊥ \overset{\leftrightarrow}{U V}$ ‍，那么 $\overset{\leftrightarrow}{U V} ⊥ \vec{S T}$ ‍。

在很多人看来，友谊也是一段对称关系。如果小雅是小克的朋友，小克也是小雅的朋友。

有哪些关系不具有此属性？

严格不等式不具有对称性。例如，

10 < 100

，但

100 ≮ 10

。

成为某人的母亲不是一种对称关系。如果凯琳是小萨的母亲，小萨不可能是凯琳的母亲。

传递性

当关系

★

具有传递性，那么此关系对有共同中间者的两件事物之间也成立。若

A ★ B

且

B ★ C

,，那么

A ★ C

。

有哪些关系具有此属性？

关系	符号	例子
等式	$=$ ‍	若 $m ∠ F = m ∠ G$ ‍ 且 $m ∠ G = m ∠ H$ ‍，那么 $m ∠ F = m ∠ H$ ‍。
全等	$≅$ ‍	若 $△ R S T ≅ △ W X Y$ ‍ 且 $△ W X Y ≅ △ F G H$ ‍，那么 $△ R S T ≅ △ F G H$ ‍。
相似	$\sim$ ‍	若圆 $A \sim$ ‍ 圆 $B$ ‍ 且圆 $B \sim$ ‍ 圆 $D$ ‍，那么圆 $A \sim$ ‍ 圆 $D$ ‍。
平行	$∥$ ‍	若 $\overset{―}{J K} ∥ \overset{―}{L M}$ ‍ 且 $\overset{―}{L M} ∥ \overset{―}{N O}$ ‍，那么 $\overset{―}{J K} ∥ \overset{―}{N O}$ ‍。

有哪些关系不具有此属性？

垂直不具有传递性。

在图中，

\overset{―}{A B} ⊥ \overset{―}{A C}

且

\overset{―}{A C} ⊥ \overset{―}{C D}

，但

\overset{―}{A B}

平行于，而非垂直于

\overset{―}{C D}

。

友谊也不具有传递性。若小艾是小罗的朋友，小罗是小娜的朋友，我们不知道小艾和小罗是否为朋友。

等式与全等

相等与全等联系紧密，但有所不同。我们用等式表示任何可以用数字传达的信息，包括计量、比例和比率。

值	例子
角度测量	$m ∠ A + m ∠ B = 90 °$ ‍
线段长度	$M N = P Q = 5$ ‍
面积	区域 $D E F G = 81 {cm}^{2}$ ‍
比例	$\frac{3}{4} = \frac{J K}{K L}$ ‍

我们用全等和相似关系形容几何图形中的关系。我们不通过运算，例如加法和乘法，来表示几何图形中的关系。

图像	例子
角度	$∠ A ≅ ∠ C$ ‍
线段	$\overset{―}{M N} ≅ \overset{―}{P Q}$ ‍
多边形	$△ D E F \sim △ G H I$ ‍
圆	所有圆都是相似的。

有三大定理对相等与全等关系非常有帮助。

如下图所示，已知

A B = C D = 3.2

。

在正式的论证中，我们需要一条辅助线证明

\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{C D}

。更为简便的证明方式为互换使用相等和全等。和同学一起讨论哪个方法更加合适！

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