几何应用题：黄金比例

这里是一张 伦勃朗在1640年画的 这里有意思的地方在于 就像其他伟大的艺术家一样 像达芬奇和萨尔瓦多·达利 还有很多人其他人，伦勃朗真的 很关心一个叫做黄金分割率概念。 我已经做完了有关它的视频。 这个的非常令人着迷的数字 通常表示由希腊字母phi表示。 如果你把它展开来 它就是一个无理数数 1.61803， 然后一直持续下去。 但是phi有很多非常优美的数学性质 或叫做黄金分割率。 如果你想在phi之后加上些什么 --我们换一种思路好了 如果你用1加上1除以phi 我需要把我的phi画的再好看点 如果你用1加上1除以phi，你将会得到phi。 这看起来十分优美。 现在，如果你要在等式的两边 乘上phi，你将会得到phi 加1 等于phi的平方。 这个数字加上1以后 能得到它的平方。 这些都是真的很了不起的事情。 它甚至可以写成被写成连续的分数。 phi可以被改写为1加1比1加1比1加1 我们可以永远写下去 而这个的答案也是phi。 希望这能给你带来一些对这个数字的敬畏 因为它真的是一个很酷的数字。 而且不仅仅是数学上 它也出现了在整个大自然中 而这是艺术家所关心的，因为他们 相信它会帮助定义人类的审美。 我们看到伦勃朗真的很在乎这个数字 在这幅画中就能体现出来。 但我们是怎么知道的呢？ 下面我们就要通过此视频里的练习 做一些分析了。 我们可以构造一个三角形。 显然这些三角形不是他最初绘画的一部分， 我们把这些叠加了上去。 但是如果你要在他的手臂那里 放一个三角形的底 如果你在三角形的两侧 勾勒出他的手臂和肩膀 然后让这两个边 在这个拱的顶部相交，你将会构造出一个三角形ABD。 就像我们这里一样。 然后如果你看他的眼睛 你可以想象人的眼睛往往是 我们关注的，不管注视的脸是一张人脸 还是一幅画的脸。 如果你看着他的眼睛 并且在那里画一条线 一条平行线 把眼睛连接在一起 这条线就与这里的BD平行。 我们就将这条线段称为PR。 我们会看到这个比例，这个小三角形 与三角形之间的比例，与phi有关。 这是已知的 关于这幅画令人着迷的秘密。 线段CD和BC长度之间的比例为phi比1。 所以我们从这个大三角形的顶点画一条线 然后CD与BC长度之间的比例为phi。 很明显，伦勃朗大概想到了这个。 更重要的是 我们知道PR与BD平行 我们就是刻意把它这么画出来的。 所以这条边和这条边平行 从接下来的这个线索中我们得知 伦勃朗真的很认真地思考过这个。 AC与AQ之比 AC是大三角形的高， AC与AQ之比 也就是这上面这个三角形的高，它们之间的比例为 phi + 1比 1 也就是phi + 1 很明显，伦勃朗认真思考过这个问题。 现在我们使用所有已知的信息 来深入探索一下。 让我们看看是否能找到这样的式子。 三角形ABD的面积， 也就是这个大三角形， 与三角形APR的面积， 也就是这个小三角形，之比。 所以我们想找到大三角形的面积 与小三角形面积之比。 看看我们能不能用phi表示出来， 看看我们能不能找到仅含phi 或常数的表达式 或以某种方式调用phi。 我建议你们暂停视频并且尝试自己做一下。 让我们一步一步来做。 三角形的面积是多少？ 任何三角形的面积都是底乘以高的1/2倍。 所以三角形ABD的面积，我们可以 写成1/2乘以底 我们的底，也就是线段BD的长度。 因此是1/2乘以BD 那么高是多少？ 那就是线段AC的长度 1/2乘以BD 还有AC --我用一样的颜色吧 乘以线段AC的长度。 现在面积是多少？ 这就是三角形ABD的面积 1/2底乘以高 现在三角形APR的面积是什么? 它将是1/2乘以底 也就是PR 线段PR 乘以它的长度 乘以高 即线段AQ。 所以线段的长度AQ 我们可以 这样写，乘以 线段AQ的长度。 那么我们如何进行一些简化？ 我们可以用1/2除以1/2 于是它们两个抵消了。 但是我们还知道什么？ 他们给了我们AC和AQ之间的比例 AC与AQ之比在这里 等于phi+1比1。 或者我们可以说这等于phi 不对 是我们可以说这等于phi加1。 所以让我重写一下 这将等于 我们有线段BD的长度除以线段PR的长度。 然后这部分我们可以写成 这等于phi+1除以1 所以我就这样写。 因此 乘以phi+1除以1。 现在BD与PR的比率是多少？ BD与PR之比， 也就是大三角形的底和 小三角形的底之比。 我们来稍微考虑一下。 你可能会想 这个大三角形 和这个小三角形 它们是相似的吧。 它们俩显然有公共角A 且因为PR和BD平行， 我们知道这个角和这个角相对应 所以它们相等。 而且我们知道这个角 和这个角相对应 所以现在我们有三个相对应的角度 且他们都相等。 这个角被两个三角形共享 这个角等于这个角 这个角等于这个角 如果有三个等角 那么这两个三角形就是相似的。 相似三角形有什么用呢? 有用之处就在于对应边之间的比例 相似三角形的对应边的对应长度 的比例将会是一样的。 他们给了我们这些比例中的一个。 他们给了我们大三角形的高与 小三角形的高之比 AC比AQ是phi+1比1 但因为对于一组对应边是成立的 在相似三角形中 这个比例将适用于任何对应的 相似三角形的边。 这个比例也就是phi+1比1。 所以BD 也就是大三角形的底与 小三角形的底的比例就是 phi+1比1 所以这也是phi+1比1 --我来这么写吧 这里也可以改写成phi+1比1。 然后我们得到了什么？ 我们有phi+1比1乘以phi+1比1 我们可以除以1， 因为那并不会改变任何东西。 所以这个就等于 我们现在应该被掌声鼓励一下了 这等于phi+1的平方。 是不是十分优美？ 我建议你们思考一下这个公式 因为我们已经看到phi+1等于phi的平方 还有很多各种各样的奇怪 有趣的方式 你可以继续对此进行分析和推导。