三角相似性以及三角函数比

这里有两个直角三角形。 假设它们都有 一个度数为theta的角 所以角A和角D是全等的 对这两个三角形，我们现在知道些什么？ 对于任何三角形，如果你知道两个角度 你会知道第三个角度 因为三角形的角度 总计180度。 所以如果你有两个共同的角度 这意味着你有三个共同角度。 如果你有三个共同的角度 它们是相似三角形。 让我说明白一点。 如果这个角度是θ，这是90 它们所有必须加起来180度。 这意味着这个角度加上这个角度 必须加起来是90度 我们在这里用掉了90度 所以角A和角B需要互余。 所以这个角度是90减去theta。 我们可以在这里使用相同的逻辑。 我们已经在这里用掉了90度。 所以剩下90度 是在θ和那个角度之间。 所以这个角度将是90度减去θ。 有三个对应的角度。 所以它们是相似三角形。 现在为什么这么有趣？ 我们从几何中知道 相似三角形中，对应边之间的比例 总是一样的。 因此，让我们探索这里对应的边。 当你分析直角三角形时 最明显的边会是斜边。 最明显的边会是斜边。 这个是斜边。 这个斜边对应的是 这个斜边 然后我们可以写下来。 这是这个三角形的斜边 这是那个三角形的斜边。 边BC， 对应于哪一条边？ 如果你看这个三角形， 您可以将其视为角θ的对边。 对边 就是三角形的另一边 我们看角D的对边。 角A的对边是BC。 角D的对边是EF。 所以它对应于这条边 最后，剩下的是边AC。 我们可以看作-- 角A是由两条边组成的。 其中一个是斜边。 我们可以称呼另一个为邻边。 所以D对应到A，所以这个 会是对应的边。 我做这些操作的理由其实是要展示 相似三角形之间，对应边的比例 相似三角形之间，对应边的比例 永远都是一样的。 例如，BC和斜边BA之间的比率 我写下来-- BC / BA 等于EF / ED EF的长度除以ED的长度。 或者我们也可以写 AC的长度， 除以斜边AB， 等于DF / DE 绿色边除以橙色边。 这些是相似的三角形。 这些边是对应的。 因此，这等于DF / DE。 我们可以继续前进，再做一个。 这条蓝色边 蓝色边和绿色边的比例 BC / CA 将与右边对应边的比例相同 蓝色边除以绿色边，EF / DF。 我们能够得到这些 是因为这些是相似的三角形。 所以这对于任何有一个角度θ的直角三角形 都适用。 然后那两个三角形将会相似 所有这些比率将会是一样的。 也许我们可以给这些比例命名 相对于角度θ。 所以，从角θ的角度来说-- 我在这里写θ 或者我们可以记住-- 这两个的比例是多少？ 从θ的角度来看的话，蓝色边 是对边。 相对 - 直角三角形相对的一侧。 然后是橙色边，已经标记为斜边。 所以从θ的角度来看 这是对边除以斜边。 我不断强调是在θ的角度来看 因为另一个角的话就不是这样 从角B的角度来看， 这是邻边除以斜边。 我们之后会考虑这里其中的关系。 但是，现在我们只从theta的角度来看。 但是，现在我们只从theta的角度来看。 所以从theta的角度来看，这是什么？ theta在这里。 显然，AB和DE仍然是斜边。 我不知道怎么说“斜边”的复数。 AC是什么，DF是什么？ 这些都是邻边。 他们是那个角的其中一边， 不是斜边的那个边。 因此，我们可以将其视为 在这些三角形中，邻边 - 这些都是相对的。 再次强调，虽然这是B的对边 但是我们现在只考虑角A 或者测量θ的那个角 或角D - 相对于角A AC是邻边。 相对于角D，DF是邻边。 所以这个比例是 邻边除以斜边。 而且，对于任何有一个角度θ的直角三角形 都会适用。 最后，这个在这里 是对边。 这是对边。 该比率，对于任一直角三角形， 是对边除以邻边。 我很想强调 我们将会做很多例子 使这个变得更具体，但是对于任何有一个角度θ的直角三角形 对边和斜边之间的比例 会是一样的。 这是从相似三角形得出的。 我们已经探讨过了。 对于角度θ，邻边和斜边之间的比例 对于角度θ，邻边和斜边之间的比例 会是一样的 只要它有角度θ的角。 对边和邻边之间的比例，相对于角度 theta， 对边和邻边之间的比例，相对于角度 theta， 蓝色边和绿色边之间 也永远都是一样的。 这些是相似的三角形。 因此，数学家决定 给这些东西起名字。 相对于角θ，这个比率 永远是一样 对边除以斜边，他们称之为角度theta的正弦。 让我换个颜色 - 根据定义 - 我们未来将会扩展这个定义 - 这是θ的正弦。 这个，根据定义， 是θ的余弦。 而这个，根据定义， 是θ的正切。 这里有一个口诀帮助记住这个 - 这些其实只是定义。 人们意识到，哇，相似三角形，对于任何角度theta， 这个比例总是会一样。 由于三角形相似，对于任何角度theta 这个比例总是一样。 这个比例总是一样。 因此，我们定义这些。 为了帮助我们记住， 有一个口诀：soh-cah-toa。 所以我会这样写。 soh 代表正弦是对边除以斜边。 cah - 余弦是邻边除以斜边。 最后，正切是对边除以邻边 (toa) soh-cah-toa。 在未来的视频中 我们会应用这些三角函数的定义。