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课程 7: 三角函数的倒数

三角比率倒数

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学习cosecant, secant,和cotangent是基本三角函数：sine, cosine, and tangent.的倒数。

我们已经学了基础的锐角三角比：

但还有另外三个比例要学习：

基于 $\frac{a}{c}$ ‍，我们可以得到 $\frac{c}{a}$ ‍.
基于 $\frac{b}{c}$ ‍，我们可以得到 $\frac{c}{b}$ ‍.
基于 $\frac{a}{b}$ ‍，我们可以得到 $\frac{b}{a}$ ‍.

这些新的比例是 反三角函数, 我们即将学到这些比例的名称。

余割 $(\csc)$ ‍

余割是正弦的倒数。它是直角三角形的斜边与特定角所对边的比值。

\sin (A) = \frac{对边}{斜边} = \frac{a}{c}

\csc (A) = \frac{斜边}{对边} = \frac{c}{a}

割线 $(\sec)$ ‍

割线是余弦的倒数。它是直角三角形与特定角的邻边的比值。

\cos (A) = \frac{邻边}{对边} = \frac{b}{c}

\sec (A) = \frac{斜边}{对边} = \frac{c}{b}

余切 $(\cot)$ ‍

余切是正切的倒数。它是直角三角形中邻边与对边的比值。

\tan (A) = \frac{对边}{邻边} = \frac{a}{b}

\cot (A) = \frac{邻边}{对边} = \frac{b}{a}

人们如何记住这些?

对大部分来说，通过将新的比例和他们的倒数相关联是比较容易记忆的。下表总结了这种关系。

	文字描述	数学关系
cosecant	cosecant 是 sine的倒数。	$\csc (A) = \frac{1}{\sin (A)}$ ‍
secant	secant 是 cosine的倒数。	$\sec (A) = \frac{1}{\cos (A)}$ ‍
cotangent	cotangent 是tangent的倒数。	$\cot (A) = \frac{1}{\tan (A)}$ ‍

找到反三角函数

我们来看个例子。

下图三角形中，求

\csc (C)

\sec (C)

, and

\cot (C)

解题

求 cosecant （余割）

我们知道 csc 是 sin的倒数。

因为 sine 是对边比斜边，cosecant 就是斜边比对边。

\begin{aligned} \csc (C) & = \frac{斜边}{对边} \\ = \frac{17}{15} \end{aligned}

求 secant (sec)

我们知道 sec 是cos的倒数。

因为 cos是邻边比斜边， sec就是斜边比邻边。

\begin{aligned} \sec (C) & = \frac{对边}{邻边} \\ = \frac{17}{8} \end{aligned}

求 cotangent （余切）

我们知道cot 是 tan的倒数。

因为 tan是对边比邻边， cot 就是邻边比对边

\begin{aligned} \cot (C) & = \frac{邻边}{对边} \\ = \frac{8}{15} \end{aligned}

自己试一试！

问题1

\csc (X) =

问题2

\sec (W) =

问题3

\cot (R) =

挑战题

$\csc (45^{\circ})$ ‍的值是多少？

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