全等三角形的对应部分也一一相等

让我们来讨论一下全等三角形 所谓的全等 是指形状上的完全相同 在代数上 所谓的相等是指它们数量相同 不过当我们讨论物体的几何形状时 全等指的是形状相同 它们的尺寸和形状是一样的 这叫做全等 来看一个简单的例子 这里有一个三角形 在这里有个三角形 你可以移动它 旋转它或者翻转它 只要你没有改变它的边长 也不改变三个角的角度 这个三角形和之前的完全相同 你可以翻转它 移动它也可以旋转它 我把它写下来 像这样移动 移动翻转 然后旋转 你可以进行以上的步骤来得到这些三角形 它们都是全等的 想要证明全等三角形的话 把这个三角形记为ABC 这点是D 这个是XYZ X Y和Z 如果我们说 这两个三角形是全等的 三角形ABC全等于 全等号看起来像是 一个上面有曲线的等号 写成是这样 也可以这样写 如果说三角形ABC全等于三角形XYZ 那么两个三角形相对应的边长相同 相对应角的大小也相等 如果这个假设成立 那么 AB=XY 线段AB的长度等于线段XY的长度 以此类推 假设这是对应边 可以看出 实际上我们已经定义了这些三角形 像这样 A对应X B对应Y C对应Z 因此AB与XY的长度相等 没有其他颜色的时候 可以这样标记 这两条线段的长度相同 你可以这样写 也许你不常看到这样的表达方式 也可以这样说 线段AB与XY全等 线段的全等意味着 它们的长度相等 所以 这两种表达其实是一样的 如果一条线段与另一条全等 就是说 一条线段的长度等于另一条的长度 接下来 对于所有的对应边 这两者是全等的 比如 线段BC的长度 等于线段YZ的长度 假设这些是对应边 我们可以用两条横线 来表示他们的长度相等 同样地 第三条边 与其对应边的长度相同 换言之 两条线段全等 因此线段AC的长度 与线段XZ的长度相等 我们不仅知道 如果两个三角形全等 那么对应边的长度相等 其实对应角的角度 大小也是相同的 所以我们还知道 这个角的大小等于其对应角的大小 这个角的对应角 在橙色和蓝色的边之间 应该说是橙色和紫色的边之间 在这两条边之间 所以两个三角形全等还意味着 角BAC的大小等于角YXZ的大小 我把代表角的符号写出来 像这样 角YXZ的度数 YXZ 也可以像这样写 角BAC和角YXZ全等 与线段的全等类似 一条线段与另一条全等 代表着它们的长度相等 一个角与另一个角全等 指的是它们的度数一样 这两个对应角的度数是相等的 它们是全等的 我们同样知道这两个对应角 我用双弧线来表示 它们两个的角度相等 所以我们知道ABC的大小 与角XYZ相等 最终我们发现 如果这两项全等 那么这个角的度数 和它对应角的度数是相等的 所以角ACB的大小 等于角XZY 现在要考虑的是 如何证明三角形全等 证明两个三角形全等 是以上诸多假设的前提 现在我们将要试图去证明它 为了介绍这堂几何课 我们提出了一些假设 这是一条公理 或公设 或你假设出来的 公理是一个想象中的词 公设也是这样的 这代表着我们假设的内容是真实的 对于公理 有几种不同的定义 有人说公理是显而易见的 或者说这是众所周知绝对真实的 于是我们可以直接运用它 公理没办法证明 公设一般都是一样的 我们假设它是真的 看结果是什么 我们能够从中证明什么 但是在今天这节几何课上 在大多数数学情况下 这两个词代表着同样的含义 一个公理或公设 是已经存在的 是我们假设出来的 但是没必要去证明 我们从这些假设出发 然后从中得出结论 其中之一 将要在几何中呈现 如果所有的对应边都全等 即对应边的长度相等 那么这两个三角形全等 我们称之为边边边公理或边边边公设 我们可以直接把它拿来用 不需要证明 从字面上理解 边边边 如果两个三角形 另一个三角形在这 若它们的对应边长度相等 比如这条边 和这条边相等 我们把这当作是假设 那么我们可以从中推出 这个三角形 与另一个全等 我不标记了 这对我来说增加了称呼它们的难度 不过这两个是全等三角形 这是一个强有力的论证 在对应边相等的情况下 两个三角形是全等三角形 由此我们可以做出其他假设 两个三角形全等的同时 对应的角大小的也全等 即它们的大小相等 那么这个角 和这个角的大小是相等的 一个合理的公理 或者一个合理的假设 或者一个合理的公设 是从这里开始的 我们从一个三角形着手 这个三角形 它有这边和这边 在这有另一边 那么我能否 建立一个 三边长和原来三角形相等的三角形 使得它无论是移动 翻转 或旋转 都不会与原三角形相同 我们假设这个三角形和原来的三角形 有着同样的边长 我把它画出来 长度大致相同 它的长度大概像这样 所以这一边的长度是这样的 把它放到这 是它看起来更加 有趣 那么它将有一条像这样的边 我画出它大致的长度 不过我试图将它摆在一个不同的角度 现在来看它是不是像这样 把它放在这 这条边在这里 很明显这不是一个三角形 为了使它构成一个三角形 我要让这两个点重合 只有两种方法 旋转这两条线 使它们的端点相交 会得到这样的一个三角形 这只是翻转了原三角形 对吧 我是 仅仅是一个翻转 可以把它转回一点点 品红色的线和黄色的线在这边 把它垂直翻转 就变得和原三角形相同了 使两点连接的另一种方法是 绕着这点旋转这条线 那么黄颜色的边将在这里 品红色的边在这 这不是品红色的边 品红色的边在这里 如果我们这样做了 只需要旋转一下这个三角形 就和原来的三角形一模一样了 这不是证据 事实上我们已经开始假设 这是一个公理了 不过希望你们能够发现这个合理的开端 如果两个不同的三角形 它们的对应边相等 那么我们知道 它们是全等的 假设这是一个我们将建立的公理 这两个三角形全等 它们的对应角 也是相等的