什么是函数？

一个函数——这个名词有点抽象 函数是这样一种东西： 它接受一个输入，然后分析这个输入 观察这个输入 以及处理这个输入 然后根据这个输入的具体情况给出一个输出 我来举个例子 比如有一个f(x) 这里的x是最常见的输入变量名 这里的x是最常见的输入变量名 而函数的名字，这里是f 则是最常见的函数名 不过也不一定，因为你还可以给它其他名字 当x是一个偶数时，令f(x)等于x的平方 而当x是一个奇数时，令f(x)等于x加上5 当我们输入2时会发生什么？ 我们输入2的目的 是让这个函数对“2”这个输入求值 让我们输入2 吧 其实这里的x 这个变量，有点像放在这里占位置 我们用输入的数字2来替换它 所以 如果2是偶数，就平方它 如果2 是奇数，就让2加上5 这里2是偶数，所以我们要平方2 在这个例子里，2的平方是4 如果我们输入3 会怎么样呢？ 这里再说一遍，当我们看到这个变量x 我们就用输入的数字来替换它 所以在这个f(3)中，若3是偶数那就平方它，若3是奇数就加上5 这里3是奇数，所以这个函数就变成了3+5 也就是8 你也许会想，这个很简洁 这是一种定义函数的有意思的方法 去分析这些数字 不过我可以用传统的等式来做 特别是 我可以用这个大括号 我们怎么用其他的方法 来表示一个函数呢？ 函数可以是这样的 这里我们不再使用f(x) 来看看表达一个函数的符号是很多的 令h(a)等于下一个以变量“a”的首字母开头的最大的数字 令h(a)等于下一个以变量“a”的首字母开头的最大的数字 如果我们用的是英语的话 现在来看，h（2）是什么？ 2(two)的英文单词是T开头的。 那么下一个最大的字母T开头的数字是什么呢？ 应该是3（three） 下一个问题 h(8)是什么呢？ 8（eight）是E开头的 所以下一个最大的以E开头的数字就是11（eleven） 所以这个其实是非常泛用的 我们刚刚定义的这个函数 h 是关于数字的英文首字母的 是关于数字的英文首字母的 所以 这个挺古怪的吧？ 当然了，并不是所有的函数都这么奇怪 事实上你们其实以前也接触过函数 见过y = x + 1吧？ 这个就是一个函数 我们可以把y 当作一个关于x的函数 这个函数等于x加上1 如果你给定一个输入 比方说当x等于0时 f（0）变成了0+1 f（0）变成了0+1 也就是1 f(2)=3（译者注：这里老师算错了...后面会改过来） 你们以前也做过吧？ 还有别的 让我们制作一张关于y与x的表格 当x是0的时候y就是1 不好意思 前面搞错了 f(2)应该是3才对 继续这个表格 看，x和y 当x为0时，y等于1 当x为2时，y等于3 你也许会问 使用这个函数记号f（x）到底有什么用？ 使用这个函数记号f（x）到底有什么用？ 意义在于，这个是一个通用的形式 有些情况下 你不一定需要使用它 但是使用这个记号也不坏对吧？ 这个使得函数名和输入非常清晰 看这个x 定义中x +1 然后这个函数给x加上1 所以不管输入是什么 输出刚好比输入多1 我猜得到你们想问什么 好吧 什么样的东西不是个函数？ 回忆一下，我们说一个函数 是根据一个输入产生一个输出 是根据一个输入产生一个输出 比如说 让我们画个图来表示下吧 这是Y轴 这是X轴 我来画个半径为2的圆 这是个半径为2 的圆 这是负2 这是正2 这是负2 这个圆的圆心在原点上 半径为2 这个应该是我画的最好看的圆了^_^ 让我把它画结实点 这个圆 这个圆的方程 是x的平方加上y的平方等于半径的平方 也就是x^2 + y^2 = 4 那么问题来了，这里我写的这个x与y的关系算不算是一个函数呢？ 那么问题来了，这里我写的这个x与y的关系算不算是一个函数呢？ 那么问题来了，这里我写的这个x与y的关系算不算是一个函数呢？ 那么问题来了，这里我写的这个x与y的关系算不算是一个函数呢？ 那么问题来了，这里我写的这个x与y的关系算不算是一个函数呢？ 我们可以从图上看到 这个并不是一个函数 我们选一个x 让这个x等于1吧 有两个y对应这个x哦！ 上面的y和下面的这个y 我们其实看看这个等式就可以了 当x为1时 1的平方加上y的平方等于4 1的平方加上y的平方等于4 两边各减1，y的平方等于3 y等于正负根号3 这个是根号3 这个是负根号3 所以这个等式里 当我放进这个1 时 产生了正根号3和负的根号3 这里有两个输出了 所以这个不算函数 我不能用一个输入对应两个输出 一个输入只能产生一个输出