完全平方因式分解介绍

我们今天要学习的是识别 可以完全平方因式分解多项式的因式。 举例来说，我有一个多项式 x^2+6x+9. 然后有人问你，“嗨，你能不能 把这个因式分解为两项式？” 学了今天我们要讲的技巧之后， 你会说“好的，我需要找到两个数 这两个数的乘积是9，两个数的加和是6.” 所以我希望你暂停视频然后说， “那么，哪两个数的加和是6， 然后乘积是9呢？” 好的，9有很多因数， 1，3和9. 1加上9不等于6. 同样的，-1加上-9 不等于6. 但是3乘3等于9， 3加3等于6. 3乘3，3加3. 所以我们可以把它因式分解成 （x+3）乘（x+3), 就等于 (x+3)的平方。 那么这个表达式中是什么 让我们认识到， 或者说我们如何 识别它是一个完全平方呢？ 我肯定需要的 是一些变量的平方形式。 我有一些是平方数的常数， 以及一些其他的平方， 在第一项的系数(1) 我有一个平方。 让我们看看这是不是普遍适用的。 我要变换一些变量来展示。 所以假如说我有a^2+14a+49. 这里包含了一些有趣的东西。 好的，我有变量的平方。 我有一个完全平方的常数项， 就是这里的7的平方。 第一项的系数 也是平方的。 这是2乘7，或者你可以说 是7加7. 所以你可以立刻说，“好的， 如果我想因式分解， 这就会等于一个7的平方。” 你当然可以通过乘法 来检验， 找到7的平方等于什么。 有时当你第一次学这个的时候， 你就像，“嗨，这不就是一个平方 加上7的平方么？” 不是！ 记住，这就等于 (a+7)(a+7) 你可以通过foil来计算， F-O-I-L方法。 我不是很喜欢这个方法 因为这个方法不是 数学性的思考。 这里你只需要做两次分配律。 首先你乘以（a+7）a 所以(a+7)a 然后乘以(a+7)乘以7. 所以加上（a+7)7, 所以这就等于a^2加上7a, 加上，现在让我们分配7. 加上7a加上49. 所以现在你可以看出这个14a是从哪里来的了。 是从7a加上7a来的。 你也可以看出平方是从哪里来的。 你也可以看出49是从哪里来的。 你可以用更通俗的方式来理解。 如果我只想 用（a+b）^2, 这就是（a+b)(a+b), 然后我们我们做在这里做过的， 但是这里我要用普遍的代数形式 a或者b然后你可以把a思考成 一个常数 或者一个变量。 这就会等于，如果我分配的话， 就等于a(a+b) +（a+b)b. 所以这就等于a^2, 现在我要再用一次分配律。 a^2加上ab加上ab加上b^2. 所以就是a^2加上2ab加上b^2. 所以这就是普遍形式的表达式。 所以如果a是自变量，也就是x,或者就是a, 那就等于无论什么的平方 以及常数项2乘以那个 乘以自变量。 为了趣味性我想向你 展示一些变形。 所以如果你看到25+10x+x^2， 然后有人问你 “嗨，你为什么不因式分解这个？” 我们可以说，“看，这个是一个完美的平方。 是5的平方。 这里我有变量的平方， 然后这个第一项的系数 是2乘5.” 所以你会立刻认识到 这个等于(5+x)^2. 现在当然你可以将这个多项式重新写成 x^2+10x+25 你会说“好的，自变量的平方， 一些数的平方，5的平方， 两倍的这个数就是这里的系数。 所以这就等于（x+5）^2." 这也很好因为这二者 完全是等价的。