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课程: 电器工程 > 单元 2

课程 4: 自然和强制反应

电感的i-v方程

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我们看一下电感的i-v方程，注意到给电感电流一个流动的地方是多么重要。

电感器是一种理想电路元件。让我们通过电感器的伏安特性方程来进一步了解电感器的特性。

我们要做的是什么

通过这篇文章：

我们将探索电感器的伏安特性 $i$ ‍- $v$ ‍ 方程，包括微分和积分形式：

$v = L \frac{d i}{d t}$ ‍ $i = \frac{1}{L} \int_{0}^{T} v d t + i_{0}$ ‍

我们将用电压源、电流源、开关等元件与电感器一起组成简单电路。
我们将了解为什么电感器的电流恒定时，其作用就像短路一样。
我们将了解为什么电感器中的电流不能突变。
当把电感器连接到开关，将开关置于断开状态时会产生矛盾现象。电感器的电流会流向何处？
我们将展示如何保护敏感元件不被电感器产生的高电压所影响。

电感器的伏安特性（ $i$ ‍- $v$ ‍）方程

v = L \frac{d i}{d t}

i = \frac{1}{L} \int_{0}^{T} v d t + i_{0}

以上分别是电感方程的微分形式和积分形式。

L

表示 电感量，是电感器产生自感应能力的一个物理量。

L

是表示了电压

v

与电流变化率

d i / d t

之间关系的一个标量。

L

决定了给定电流变化

d i / d t

，电感器将产生多大的电压

v

。

i_{0}

表示

t = 0

时电感器中的初始电流。

电感器的电压与电流的变化率成正比

当我们在学习电阻器时，欧姆定律告诉我们电阻器两端的电压与电阻器中的电流成正比：

v = i R

。

现在我们看到的是电感器的

i

v

方程：

v = L \frac{d i}{d t}

。

方程告诉我们电感器两端的电压与电感器中 电流的变化率 成正比。

对于真实世界的电阻器，我们知道必须控制电压和电流，使其不能超过电阻器能承受的大小。对于真实世界的电感器，我们也得控制电压和 电流的变化率，使其不要超过电感器能承受的大小。这个太难了，因为当用开关连通或断开电路时，电流的变化率会非常大。本文最后我们将演示如何设计电路来应对这种情况。

电感器与电流源

首先我们看看电感器与一个理想的电流源组成的电路。

电流源给电感器提供一个恒定的电流，

i = I

，例如，

i = 2 mA

。 电感器两端电压是多少？

电感方程告诉我们：

v = L \frac{d i}{d t}

方程告诉我们电感器两端的电压与电感器中电流的变化率成正比。

由于电流源提供了一个恒定的电流，电流的变化率，或称斜率，为

0

。

\frac{d i}{d t} = \frac{d 2}{d t} = 0

(大家都知道

2

不会随时间变化)

因此，电感器两端电压为：

v = L \cdot 0

v = 0

如果电感器中的电流不变，那么 $d i / d t = 0$ ‍，因此电感器两端电压为零。

电压为零，意味着电流不变的电感器相当于被短路，即可看作没有电阻的导线。

就算电流再大，比如

100 A

，如果电流不变，电感器两端的电压仍然是

0

伏特。

电感器与电压源

现在我们将电感器与一个理想电压源连接，然后看看电感方程会告诉我们什么。

我们具体设

V = 3 V

，

L = 10 mH

。

将数值代入电感方程，则有：

v = L \frac{d i}{d t}

3 = 10 mH \cdot \frac{d i}{d t}

解出

d i / d t

：

\frac{d i}{d t} = \frac{3}{10 \times 10^{- 3}} = 300 安培 / 秒

这意味着电感器中的电流以

300 A / s

的速度增大。

这太吓人了，但方程解出来就是如此。不用说，这不是真实世界的电路。我们只是在头脑中构建这种情况，能让我们观察恒定电压下会发生什么。如果我们在真实世界构建这个电路，电流会不断增大，直到真实世界电压源无法输出更多的电流。但是在很短的时间内，真实世界的电感器就是这么运作的。

电感器两端电压不变会导致电流以恒定的变化率增大（或减小）。

电感器与开关

现在我们试一试使用电感方程的积分形式来分析带开关的电路。

这个电路包括一个电压源，串联着我们的

10 mH

电感器，另外还串联一个按键开关

（ pb ）

。电感器上端的电压为

3 V

不变。我们将电感器两端的电势差（电压）记作

v_{L}

。再把按键开关两端的电压记作

v_{pb}

，这个值即等于电感器下端的电压。

在

t = 0

时刻，我们按下按键，接通电路，让电流开始流动。我们来计算电感器中的电流

i

，这一次我们用电感方程的积分形式。

按下按开关之前

我们假设开始时电感器中的电流为零：

i (0) = 0

，因为在

t = 0

之前开关没有被按下，电路是断开的。

按下开关之后

我们在

t = 0

时，按下开关。

当我们按下开关的那一刻，

v_{pb}

变为

0 V

。从电压源产生的

+ 3 V

电压现在连接到了电感器上，电流开始流动。根据电感方程，电感器在“积分”着电压，而电流从

0

开始逐渐增大：

i (t) = \frac{1}{L} \int_{0}^{t} v (x) d x + i (0)

积分中的这个表达式

v (x) d x

看起来有点怪。其中的

x

帮助我们表示了时刻，而

t

则表示按键被按下所持续的时间。我们需要变量

x

（或其他任何除了

t

的变量名）的原因是我们需要用变量

t

作为定积分的上限。当我们算完定积分之后

x

就会消失，只剩下电流关于时间的函数。这里的

x

就叫做定积分中的虚拟变量。

积分符号上的

t

表示开关的按键被按压的时间。只要按键被按着，电感器就持续积分（积累）着电压，电流也持续增大。

我们带入已知的参数

L

和

v

：

i (t) = \frac{1}{10 mH} \int_{0}^{t} 3 d x + 0

我们积分计算出

x

，我们将上下端值

t

和

0

代入

x

。

i (t) = \frac{3 V}{10 mH} x |_{0}^{t}

i (t) = \frac{3 V}{10 mH} [t - 0]

i (t) = \frac{3 V}{10 mH} t

按下按键开关之后，电流-时间方程是一条直线，斜率为：

\frac{3 V}{0.010 H} = 300 安倍/秒

只要开关闭合，电感器中的电流每秒增大

300

安培。所有的能量都储存在电感器的磁场中。

我们举一个具体的例子，比如：一直按着按键

0.002

秒

（ 即 2 ms ）

后，电流会增大到

300 \cdot 0.002 = 0.6 amps

即

600 mA

。

电流会逐渐增大（或减小），因为电感器在持续积分着电压。

这与我们用电感方程的微分形式得到的结论相同。

我们也许应该在某时刻松开按键开关。

松开按键开关

比如我们在

t = 2 ms

时松开按键，断开电路。用电感方程的微分形式来分析看看会发生什么。

v = L \frac{d i}{d t}

当松开开关，我们期望电流应该从

600 mA

瞬间变成

0 mA

，等一下，这意味着电流

i

从某个有限值变为

0

安培的过程花了

0

秒。

电流的微分

d i / d t

等于

(0 - 600) / 0

，这是无穷大啊！

根据电感方程，

v

将是无穷大！这可能吗？当然不可能。电感器中的电流不能突变，因为电流突变会导致无穷大的电压，这当然是不可能的。这种对电流变化的阻碍是由于电感器磁场中储存的能量。

电感器中的电流不会（不能）突变。

现在我们面临着一个矛盾。当电感器中有电流时，断开开关，意味着电流没有流动的方向。如果电感器中的电流仍然要流动的话，它往哪儿去呢？

理想电路中会发生什么？

糟糕了。我们有想要的电流、电压、一切数据都有，但这种情况摧毁了这个理想电路，因为我们推导出一个矛盾：电流必须同时是零和某个有限数。理想的电路模型已经无能为力了，我感到伤心欲绝。

现实中的电路会发生什么？

当开关在

t = 2 ms

时刻断开时，我们期望电流花费

0

s 从

600 mA

变为

0 mA

。别这么苛刻，从通路到断路需要

1 μ sec

时间也可以接受。这时电感器两端的电压为：

v_{L} = L \frac{d i}{d t}

v_{L} = 10 mH \cdot \frac{(0 - 600 mA)}{1 μ sec} = 10 \times 10^{- 3} \cdot \frac{- 600 \times 10^{- 3}}{10^{- 6}}

v_{L} = - 6,000 伏特 ！ ！

电感器两端的电压变得如此巨大！电感器的

+

极为

+ 3

伏特。电感器电压

v_{L}

的

-

号表示电感器的负极比正极高

6000

伏特。

即

v_{pb} = 3 + 6000 = + 6003 伏特

。

这真会发生吗？

当电压如此高时，开关接触间隙中的空气会被击穿，产生电弧。磁场中储存的能量会以闪光的形式释放出来。实际上，这是制造电火花最好的办法之一。

在我们这个电路的现实版本中，在

3000

伏左右就会产生电火花。如果你的开关足够结实，还是能扛得住这个电火花的。如果开关很脆弱（比如你用晶体管当做开关），这么高的电压很可能会把开关打坏。

矛盾：断开的电路和电感器中不为零的电流，如何能同时存在呢？在真实世界里，电感器赢了，断开的电路输了，悖论解决。断开的开关在电弧击穿的时候并不是那么的“断开”。

你不用害怕电感器，但应该尊敬它。电感器和电容器一样，都是储存能量的元件。如果把储存的能量一下子释放出去，那肯定就是一场爆炸。

电流源与电感器也许看起来有些危险，但也不会比其他元件更危险。危险的感觉主要来自于我们不像电压源那样熟悉电流源。短路某个电压源会很危险，我们都知道千万别把叉子插进墙上的插座里，不然你会感受到巨大的电流。短路一个通着电的电容器也一样危险，因为在短时间内，电容器相当于一个电压源。

电流源和电压源正相反。短路某个电流源没什么危险，但电流源可不喜欢断开电路。接通电流的电感器相当于电流源。如果某个存着很多能量的电感器被你断开电路，你会感受到巨大的电压。断开的电路居然会导致麻烦，这看起来很奇怪，但电路里有电感器就会有这样的情况。本文讨论的电感器和开关组成的电路是发生这种重要情况的最常见的地方。

你可以把这里当做本文的结尾。你已经很好的理解了如何应用电感方程的两种形式来分析电路。后面的部分是关于如何设计电路来应对电感器产生的电压突增，是可选的内容。

如果你了解二极管的原理，会对下面的内容有更深的理解。二极管是一种只允许电流从单一方向流过的元件。

我们如何避免电感器导致的电压突增对整个电路造成的破坏？当要设计一个带开关和电感器的电路时，需要提前想好如何确保电流始终有地方可以流动。

让电流有地方流动

我们面对的问题是电感器不喜欢忽然断开电路。这有一个解决这个难题的办法：给电流提供一条备用的路。

如果我们将一个二极管与电感器并联起来，它就会很巧妙的解决这个电压突增问题。当开关断开时，二极管给电流提供了另一条路，避免了电弧和破坏的发生。

首先要注意的是二极管的连接方向：它的正向方向向上，即电流只允许向上流过二极管。

开关合上之前，电路里没有电流流动，所以电感器和二极管两端的电压均为

0

伏。

v_{pb}

为

3 V

。

合上开关

当开关合上时，电流流过电感器和开关，与没有二极管的情况一样：

开关合上时，二极管两端的电压是多少？

v_{L} =

V

此时二极管是顺向偏置还是逆向偏置？

二极管中的电流约是多少？

二极管电流

\approx

A

松开按健开关

现在我们松开按健，开关断开。二极管这时帮我们干了一件很聪明的事。之前没有二极管的时候，开关断开导致

v_{pb}

突然增大为巨大的正电压。

现在我们有了二极管，当开关断开时，有个很大的

d i / d t

，导致了

v_{pb}

迅速增大，目前为止与没有二极管时类似。

当 $v_{pb}$ ‍ 增大至超过 $3$ ‍ 伏大约 $0.7$ ‍ 伏时，二极管发生了什么？

二极管给电感器提供了一条通路让电感器中的电流可以继续流动，代替了开关接触之间的电弧。二极管的伏安

i

v

特性不会让电压大到能产生电弧的地步。电感器下端电压

v_{pb}

会增大到

3.7

伏，或者更高一点。二极管将电压锁定在这个值，防止可怕的电弧出现。所有人都满意了。

在真实世界中，电感器的电流

i

会不断在二极管循环流动，直到变成热能耗散掉。二极管避免了电感器电压突增，保护了附近的电路元件。

总结

电感器中的电流不会突变。

当电流不变时，电感器可以看作是短路。

组成带电感器的电路时要小心，电流的突然变化，比如开关断开，电路忽然断路，意味着电流的微分

d i / d t

会变得非常大，而电感方程告诉我们这种情况下电感器会产生巨大的电压。

应对这种破坏性的电感器电压的一种方法是，为电流设计一条通路，这样就不会有巨大的

d i / d t

。我们演示了在电路中加入二极管后，当开关断开时，二极管提供了电流通路并将电压锁定在可以接受的范围内，解决了这一问题。

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