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主要内容

焦点 & 准线的双曲线方程

视频字幕

图中这条黄色的曲线是一条抛物线, 在之前的视频中,我们已经知道 抛物线可以被定义为 到一个定点和一条定直线距离相等的点的集合, 其中定点是抛物线的焦点, 定直线是抛物线的准线。 这个视频中会涉及一点略微繁琐的代数, 现在我们已经知道了抛物线的定义, 当给定一个焦点, 横坐标为a,纵坐标为b, 和一条准线,y = k, 这个抛物线的方程式是什么, 这个方程式应该是由a,b和k决定的, 我们来算算看。 在抛物线上任取一点。 比如这个白点, 它的横坐标为x,纵坐标为y, 根据定义,如果这条曲线是抛物线的话, 这个点应该满足到焦点和到准线的距离相等, 那么这意味着什么? 这意味着这个点到准线的距离, 也就是用蓝色画的这个线段的长度, 应该和它到焦点的距离相等, 它到焦点的距离就是用紫红色画的线段的长度, 为了衡量白点到准线的距离, 我们只需要向下作垂线, 你可能会说 这个就是白点到准线的最短长度, 至于白点到焦点的距离, 我们可以看到这个紫红色的线段是呈一定角度的, 因此我们需要用到距离公式, 也就是勾股定理。 我们来算一算。 这两段距离应该是相等的。 那么蓝色这段距离是多少? 这段距离等于纵坐标的变化量。 也就是 y - k。 就是这段距离。 这段距离等于 y - k。 我们需要谨慎一点。 这幅图中 y比k大, 所以这个式子的值是正的, 距离必须是一个非负的值, 但是你也可以画一条抛物线 使得焦点的纵坐标小于准线的纵坐标, 这样一来这个式子的值就是负的。 所以我们需要的是这个式子的绝对值, 或者先把它平方, 再取平方根, 即主根, 这个和y - k的绝对值是相同的。 这就是蓝色这段距离, 根据抛物线的定义, 如果(x, y)在抛物线上, 蓝色这段距离 就需要和(x, y)到(a, b),即到焦点的距离相等。 那么(x, y)到(a, b)的距离是多少? 我们只需要应用距离公式, 即勾股定理。 紫红色这段距离等于横坐标的变化量x - a的平方 加上纵坐标的变化量y - b的平方, 再取这个整体的平方根, 即两个式子之和的平方根。 这个等式就是抛物线的方程式。 这看起来不太像,并且很繁琐, 但它确实是抛物线的方程式, 为了证实这点,我们只需要化简这个等式, 如果你有什么想法的话, 我鼓励你自己尝试着化简这个等式, 这个就是一点繁琐的代数而已, 并没有特别困难。 化简之后,你会得到一个更好辨认的抛物线的方程, 并且最终的结果适用于任意一个焦点(a, b) 和一条准线y = k, 下面我们来化简这个等式。 最简单的初步化简 就是将等式两边同时平方, 从而去掉根号。 将等式左端平方, 得到(y - k)² 等于 (x - a)² + (y - b)²。 这样差不多吧? 现在我希望最终的结果中, 等式左端只有一个y, 右端只有含x,a,b和k的项, 那么首先我可以做的是 将这两个含y的表达式展开, 左端蓝色的表达式展开后等于 y² - 2yk + k², 展开后的式子等于, 等式右边第一个表达式先保持不变, 也就是 (x - a)², 现在把第二个表达式展开, 我换一个一个颜色, 我用绿色写, 加上 y² - 2yb + b²。 我所做的其实就是 (y - b) × (y - b)。 再来看看能不能进一步简化。 等式左端有一个y², 右端也有一个y², 等式两端可以同时减去y², 这样就进一步简化了, 再来看看还能做什么。 让我们把把k²放到右端, 等式两边同时减去k², 等式两边同时减去k², 左端原有的k²就被抵消了, 等式两边再同时加上2yb, 这样所有带有y的项就都在左端了, 加上2yb, 左端也加上2yb, 加上2yb。 现在这个等于什么? 这儿有点写不下了, 我在这边再划出一块区域。 所以等式左端是什么? 左端等于2yb - 2yk, 让我把它写下来。 我还是用绿色写。 我还是换一个颜色吧。 等式左端是2yb - 2yk。 你可以把2y提取出来, 从而得到 2y × (b - k)。 我们就这么做吧。 这个多项式可以写为 2(b - k)y 如果你把2和y都提取出来的话, 这个就是等式左端, 就是这两项。 这些都抵消了。 至于等式右端, 我之前说了会有一些比较繁琐的代数, 我指的就是这一块内容。 等式的右端有(x - a)², 然后这两项消掉了, 还剩下b² - k², 这边是b² - k², 这儿接着加上b² - k²。 之前说了我希望左端只有一个y, 所以所有项都除以2(b - k)。 所有项都除以2(b - k), 2(b - k)。 这个整体也除以2(b - k)。 显然,等式左边这两项抵消了,只剩一个y, 现在我们得到 y = 1 / 2(b - k) 注意到b - k是 焦点和准线的纵坐标的差值, 所以右端是1除以两倍的差值 再乘以(x - a)²。 如果b - k的值已知, 就可以把这一项直接写成一个数, 也就是一个数乘以(x - a)² 希望这看来起来越来越像你印象中的抛物线, 如果你仍然有印象的话。 来看一看是否能进一步简化等式右端, 你或许意识到 b² - k²是平方差, 这和(b + k)(b - k)是等价的, 所以分子和分母上的(b - k)抵消, 现在只剩下 最后一点重要的东西了, 我们只剩下 1/2 × (b + k)。 这就是化简后得到的方程。 给定一个焦点(a, b), 和一条准线y = k, 我们就可以得到相应抛物线的方程。 举个例子, 如果有一个焦点, 比如(1, 2), 还有一条准线, y等于 我也不确定, 就定为y = -1吧, 那么相应的抛物线的方程是什么? 方程是y等于1除以 2(b - k),也就是2 - (-1), 和2 + 1等价, 所以是3, 2 - ( - 1) = 3, 乘以(x - 1)² 加上 1/2 × (b + k)。 2 + ( - 1) = 1, 所以这里是1, 这个又等于什么? 你将得到 y = 1/6 × (x - 1)² + 1/2。 这就是最终结果。 这个方程就代表 以(1,2)为焦点 以y = -1为准线的抛物线。 非常有趣。