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主要内容
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二次方程与代数的基本定理

视频字幕

假设题目是 一个F关于x的二次多项式函数, 5x^2 + 6x + 5。 基于已知的代数基本定理, 因为这是一个二次多项式, 所以会得到2个根。 或者用另一种思路来想, 有两个x值 使得F(x)等于0。 所以我希望你能暂停视频 然后尝试独立求解这两个x值。 那么当我,如果我们想要 求解使得该表达式等于0的x值。 那本质上就是在解这个方程。 5x^2 + 6x + 5 = 0。 很显然这个式子看上去 无法很好地进行因式分解,所以 我会采用二次求根公式。 二次求根公式告诉我们x, 也就是这个方程的解, 等于-b。 我用有色的笔来写。 -b,在这里,这就是b。 -b,就是-6,加上或减去, 加上或减去平方根,b^2, b^2,减4乘以a, 乘以a,乘以c,乘以a乘以c。 这所有的,所有的这些部分除以2乘以a。 所有这些除以2乘以a。 简化之后得到什么呢? 就等于,回到这里, 这就等于-6。 我还是用有色笔来标注。 -6加上或减去,加上或减去这个平方根。 现在,这等于什么呢? 这是36减100。 所以-64,这一整个部分除以2乘以5。 所有这些除以10。 现在就有意思了。 我们需要将一个负数进行平方根。 或者换个思路来想, b^2-4ac小于0, 通常我们将b^2-4ac, 将它称为二次判别式。 它小于0。 所以这个小于0。 二次求根公式的这一部分, 我们想要将一个负数进行平方根。 这里等于一个负数。 结果就会得到一个虚数。 所以就不会得到2个实数根, 而是2个非实数的复数根。 所以这就等于 -6加上或减去8i, -64的平方根是8i。 这里我们将平方根函数的规则 延伸到虚数或者复数上。 这些都除以10。 或者我们可以说x等于, 看一下我们能不能找到最大公因数。 我们尝试将它简化,就会得到 我们试一下同时除以2 就等于-3/5,也就是 -6/10,加上或减去4/5,4i/5。 或者你可以说这2个根, 非实数的复数根, x就等于-3/5 + 4i/5。 这是其中一个根。 然后另一个根是 x等于-3/5 - 4i/5。 请注意,这样是符合代数基本定理的。 有2个根,不是实数, 但代数基本定理 是这么说的, ”如果有n次多项式, 那么就会有至少n个复数根。“ 可以是实数也可以不是实数 像这里一样。 我们也已知它们是共轭的。 二次求根公式 正好也是这样的设定, 特别是当它小于0的时候, 求它的平方根 就会得到一个虚数 你就知道共轭是从哪来的了。 现在让我们从图像上来验证这个情况属实。 即这个函数确实没有实数解。 让我们拿出计算器。 进入图像模式。 Y等于。 我先清除掉之前的记录。 Y1 = 5x^2 + 6x + 5, 然后我来 设一个合理的范围。 我也不确定。 实际上,我对这个函数了解得不多。 我将最小值设为-10, x最大值就+10吧。 x比例为1,我看一下y的最大值, 它的确能很快地变得很大。 那么就设y得最大值和y的比例为, 我不确定那就100吧。 100,比例我设为10。 每一道就等于10。 y的最小值,我们要看到x轴 来确保它们的确没有交点所以设为负数, 我也不确定,那就-20吧。 现在把图像画出来。 我希望这个图像能囊括所有想要看到的东西了。 成功了,你可以看到 这个图像跟x轴没有交点。 事实上,我们可以放大一些来看。 有点难看到,有点难, 我再将范围调整一下。 我来调整一下范围。 将x最小值设为5, x最大值,啊不是50,设为5。 设为,-5和+5。 然后,y最大值, 将y最大值设为20,然后y的比例, 我也不确定那就设为2吧。 我想这样就能看得更清楚了, 就是这样,跟x轴没有交点。 所以没有实数根 但有2个非实数的复数根。