二次方程与代数的基本定理

假设题目是 一个F关于x的二次多项式函数， 5x^2 + 6x + 5。 基于已知的代数基本定理， 因为这是一个二次多项式， 所以会得到2个根。 或者用另一种思路来想， 有两个x值 使得F(x)等于0。 所以我希望你能暂停视频 然后尝试独立求解这两个x值。 那么当我，如果我们想要 求解使得该表达式等于0的x值。 那本质上就是在解这个方程。 5x^2 + 6x + 5 = 0。 很显然这个式子看上去 无法很好地进行因式分解，所以 我会采用二次求根公式。 二次求根公式告诉我们x， 也就是这个方程的解， 等于-b。 我用有色的笔来写。 -b，在这里，这就是b。 -b，就是-6，加上或减去， 加上或减去平方根，b^2， b^2，减4乘以a， 乘以a，乘以c，乘以a乘以c。 这所有的，所有的这些部分除以2乘以a。 所有这些除以2乘以a。 简化之后得到什么呢？ 就等于，回到这里， 这就等于-6。 我还是用有色笔来标注。 -6加上或减去，加上或减去这个平方根。 现在，这等于什么呢？ 这是36减100。 所以-64，这一整个部分除以2乘以5。 所有这些除以10。 现在就有意思了。 我们需要将一个负数进行平方根。 或者换个思路来想， b^2-4ac小于0， 通常我们将b^2-4ac， 将它称为二次判别式。 它小于0。 所以这个小于0。 二次求根公式的这一部分， 我们想要将一个负数进行平方根。 这里等于一个负数。 结果就会得到一个虚数。 所以就不会得到2个实数根， 而是2个非实数的复数根。 所以这就等于 -6加上或减去8i， -64的平方根是8i。 这里我们将平方根函数的规则 延伸到虚数或者复数上。 这些都除以10。 或者我们可以说x等于， 看一下我们能不能找到最大公因数。 我们尝试将它简化，就会得到 我们试一下同时除以2 就等于-3/5，也就是 -6/10，加上或减去4/5，4i/5。 或者你可以说这2个根， 非实数的复数根， x就等于-3/5 + 4i/5。 这是其中一个根。 然后另一个根是 x等于-3/5 - 4i/5。 请注意，这样是符合代数基本定理的。 有2个根，不是实数， 但代数基本定理 是这么说的， ”如果有n次多项式， 那么就会有至少n个复数根。“ 可以是实数也可以不是实数 像这里一样。 我们也已知它们是共轭的。 二次求根公式 正好也是这样的设定， 特别是当它小于0的时候， 求它的平方根 就会得到一个虚数 你就知道共轭是从哪来的了。 现在让我们从图像上来验证这个情况属实。 即这个函数确实没有实数解。 让我们拿出计算器。 进入图像模式。 Y等于。 我先清除掉之前的记录。 Y1 = 5x^2 + 6x + 5， 然后我来 设一个合理的范围。 我也不确定。 实际上，我对这个函数了解得不多。 我将最小值设为-10， x最大值就+10吧。 x比例为1，我看一下y的最大值， 它的确能很快地变得很大。 那么就设y得最大值和y的比例为， 我不确定那就100吧。 100，比例我设为10。 每一道就等于10。 y的最小值，我们要看到x轴 来确保它们的确没有交点所以设为负数， 我也不确定，那就-20吧。 现在把图像画出来。 我希望这个图像能囊括所有想要看到的东西了。 成功了，你可以看到 这个图像跟x轴没有交点。 事实上，我们可以放大一些来看。 有点难看到，有点难， 我再将范围调整一下。 我来调整一下范围。 将x最小值设为5， x最大值，啊不是50，设为5。 设为，-5和+5。 然后，y最大值， 将y最大值设为20，然后y的比例， 我也不确定那就设为2吧。 我想这样就能看得更清楚了， 就是这样，跟x轴没有交点。 所以没有实数根 但有2个非实数的复数根。