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主要内容

视频字幕

这个视频中, 我要讨论正比例和反比例。 我会将正比例写在左边这里, 把反比例, 也就是相反变化的两个变量, 写在右手边这里。 两个变量的正比例关系, 有一个非常简单的定义: 如果 y 等于一个常数乘以 x, 那么 y 与 x 是正比例关系。 我们把它写下来, y 与 x 是正比例关系。 你如果觉得这个常数不熟悉, 只需记住它可以是任何确定的数。 我给你一些具体的例子, y 与 x 是正比例关系的例子。 y 等于 x 就是一个例子, 此时这个常数就是 1, 可以省略不写。 写的话,就是 y 等于 1x,k 为 1。 y 等于 2x 也同样, 也可以是 y 等于 1/2 x, 当然也可以是 y 等于 -2x, 两者仍然是正比例关系。 也有 y 等于 -1/2 x, 也有 y 等于 pi x, 更可以有 y 等于 -pi x, 我不需要再多说, 你肯定已经领会意思了。 任何常数乘以 x—— 就是正比例关系。 为了直观的理解这个概念, 我们来研究一下。 我们选其中一个。 好吧,我选两个,一个正一个负, 负的情况有点不符合直觉。 我们看看 y 等于 2x, 我们来研究一下, 在这种情况时,为什么 它俩是正比例关系。 我们先选一些 x 的取值, 然后看看 y 在相应 x 值时等于多少。 当 x 等于 1,y 是它的 2 倍,等于 2, 当 x 等于 2,y 等于 2 乘以 2,等于 4, 因此,当我们将 x 翻倍, 也就是 x 从 1 变到 2—— x 翻倍了——同样,y 也翻倍。 y 也变成 2 倍。 这就是正比例关系的定义, 如果我们把 x 放大一个倍数, 那么 y 必须放大同样的倍数。 如果把 x 缩小一个比例, y 也必须缩小同样的比例。 这对所有情况都成立, 就算是我将要举的例子 y 等于 -2x,也同样成立。 用玫红色表示喜悦。 y 等于负的——这样吧, 我用一个没在这写过的例子。 我们来试试 y 等于 -3x。 同样,写出一些 x 和 y 的值。 当 x 等于 1, y 等于 -3 乘以 1 等于 -3。 当 x 等于 2,y 等于 -3 乘以 2, 等于 -6。 注意,我们又是在翻倍。 如果我们——我还是用那个绿色。 如果我们将 x 乘以 2—— 颜色不对, 但意思对了—— y 同样也变成了 2 倍。 从 1 到 2, 变成了 2 倍, 而从 -3 到 -6, 也是变成了 2 倍。 所以两者放大了同样的倍数。 如果是缩小的话——我们试试 随便来,比如 x 缩小为原来的 1/3, 如果 x 缩小到 1/3,y 变成—— -3 乘以 1/3 等于 -1。 所以请看,1 到 1/3,是除以 3, 从 -3 到 -1, 也是除以 3。 同样都是除以 3, 因此不管是放大还是缩小 x, y 被同样的放大或缩小。 这就叫做正比例关系。 当然,这个关系有时候会不那么清晰, 有时候会让人迷惑。 我们还是以此为例, y 等于 -3x, 我把反比例的空间还是保留着, 你可以这样写, 或者做一些代数变换, 把这个方程的两边同时除以 x, 然后得到 y/x 等于 -3, 或者,两边同时除以 x 之后, 再两边同时除以 y。 从这个式子,两边同时除以 y, 得到 1/x 等于 -3 倍的 1/y, 这三个式子, 这三个方程 说的是同一件事。 有时候正比例关系 不是那么清晰。 但如果你进行这样的分析, 你会分析出相同的结论。 或者你也可以用代数变换 变成这种形式。 还有另外的方法, 我们同时在方程两边除以 -3, 得到 -1/3 y 等于 x。 这就有意思了, 这表明 x 随着 y 的变化而变化, 或者我们可以说 x 等于常数 k 乘以 y。 通常来说,这也没错。 如果 y 与 x 是正比例关系, 那么也可以说 x 与 y 是正比例关系。 比例常数是不同的, 实际上两种情况的比例常数互为倒数, 但仍然是正比例关系。 这一大套都是正比例, 我们来研究一下反比例关系。 反比例——它的一般形式 如果还是用同样的变量, 当然,不一定非得是 y 和 x, 也可以是 a 和 b, 或者 m 和 n。 如果说 m 与 n 是正比例, 那么 m 就等于某常数乘以 n。 现在我们来看反比例, 如果我还是用 y 和 x, 那么 y 等于某个常数乘以 1/x。 不是常数乘以 x, 而是常数乘以 1/x, 我来举一些例子。 y 等于 1/x, 也可以是 y 等于 2 乘以 1/x, 也就是 2/x。 也可以是 y 等于 1/3 乘以 1/x, 也就是 1/3x, 也可以是 y 等于 -2 除以 x。 我们来研究一下,反比例关系, 就用研究正比例关系的方法。 我们来选——我看看, 选 y 等于 2/x, 我们画同样的表格, 画好了, 这是 x 值,这是 y 值。 当 x 等于 1,y 等于 2, 当 x 等于 2,y 是 2 除以 2 等于 1, 所以,如果 x 乘以 2, x 增至 2 倍,y 会如何? y 会缩小至 1/2, 也就是除以 2。 注意其中的区别, 在这里,不管放大缩小,x 怎么变化, y 也一样怎么变化, 而现在是反比例关系, 当把 x 放大一个系数, y 会缩小一个同样的系数。 这就是“反”比例的意思。 或者也可以这样, 如果让 x 等于 1/2, 如果缩小 x, y 就要放大。 因为 2 除以 1/2 等于 4, 所以我们放大了 y。 它俩做了相反的动作。 它俩是反比例关系。 我们试一下负数的情况, 也是同样。 这里我们是乘以 2。 同样,你未必会刚好见到这个形式。 它可以变成很多种形式, 但同样都描述了反比例关系, 只要在代数上等价。 你可以把这个式子的两边 同时乘以 x, 然后得到 xy 等于 2, 这同样是反比例。 如果画表格的话, 跟之前这个不会有区别。 也可以两边同时除以 y, 得到 x 等于 2/y, 也就是 2 乘以 1/y。 注意,它的意思是 y 与 x 是反比例关系, 而通过代数变换, 也能说明 x 与 y 是反比例关系。 y 与 x 是反比例关系, 也就等价于—— 我们用下面这个例子说明了 ——x 与 y 也是反比例关系。 还有, 我们把这里两边同时除以 2, 得到 y/2 等于 1/x, 各种各样的古怪形式。 所以一般来说, 如果有表达两个变量关系的式子, 然后问你这是正比例还是反比例, 或者都不是? 你可以像这样画表格, 如果把 x 放大一个固定倍数, y 也放大了一样的倍数, 那么就是正比例关系。 如果放大 x——当然要试多个不同的倍数 ——而 y 是缩小的,同比例缩小, 那么这很可能就是反比例关系。 而最有把握的办法还是 用代数变换把式子变成 这种形式,这就肯定是反比例关系, 或者这种形式,这就肯定是正比例关系。