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主要内容

有理函数的末端行为

Sal分析了几个有理函数的结束行为, 即共同涵盖了所有类型的末端表现.

视频字幕

这个函数f(x), 它等于这个分式 然后题目问道:“当x趋近于负无穷的时候 f(x) 趋近于什么?” 所以,x变得越来越小, f(x)会趋近于什么呢? 像往常一样,暂停视频 看看你能否自己解决这个问题。 好的当我试图 思考一个函数 在x趋近于正无穷或负无穷的时候 我要做的事就是重新整理这个表达式。 所以,f(x), 我要重写一遍, 等于7x^2-2x 分母是15x-5。 现在有一个小技巧 就是当x趋近于负无穷 或正无穷的时候, 我们要给分子和分母同时除以 分母中的最高次项。 分母中的最高次项 就是第一项 这里我们只有x. 所以,让我们给分子和分母同时乘以 1/x,或者换一种方法思考的话 就是给分子和分母同时除以 x. 然后如果我们要对 分子和分母做一样的事的话, 日光IP我们给它们同时除以或乘以相同的数, 我应该说, 好吧比如我给它们乘1. 所以我们是不改变它的数值的。 这就会很有趣, 也会让我们思考 当x变得非常非常趋近于负无穷这个情况的时候变得简单一点。 所以7x^2除以x, 或者乘以1/x,等于7x. 2x乘以1/x,或者2x除以x,就等于2. 然后分母 15x除以x,或者x分之15x, 就等于15. 然后我们有5/x. 5乘1/x等于5/x。 减5/x。 现在,这个和原式是相等的, 但是相比会简单一点 特别是当我们思考x 变得非常非常负的时候。 当x变得非常非常非常 变得非常非常负的时候。 这就会变成一个非常大的负数。 你从中减去2,对它几乎毫无影响。 你把它除以15,好的那也不会影响什么。 这就会变得非常非常小。 5除以 一个非常非常负的负数 那只会变得更负。 所以这里就会等于零。 这个分之真个就趋近于无穷。 或者我应该说趋近于负无穷。 7乘以负兆亿, 7乘负10的100次方, 7乘负一个后面带着10的100次方个零的数, 我们得到越来越负的数, 这将等于,这将 趋近于负无穷。 减2也对它毫无影响。 事实上,那只会更负。 除以15也无所谓, 你得到的依旧是负无穷。 如果你有一个任意的一个负数, 你除以15,得到的 依旧是一个负数。 所以你可以说这个是趋近于 负无穷。 现在,另一个你可能想到的。 就是我将要用的方法 特别是 当我见到这类问题的时候。 分子中的项 和分母中的项,哪项是起主导作用的? 我说’主导‘的意思是什么? 当x变得更正或者x变得更负, 另一个思考的方式是x的数值大小 变大,那么x的绝对值也会增大。 次方数高的会比次方数低的 增长的更快。 所以,我们可以说对于大的x, 对于大的x, 当我说’大‘意味的是绝对值。 大绝对值。 然后如果我们要趋近于负无穷, 大绝对值。 所以f(x)将近似等于 分子中的高次项, 也就是7^2,除以 分母中的高次项。 15x将会增长,事实上,这里 是一个常数。 所以当它变得越来越大, 这个将影响得越来越小。 所以会近似等于它。 就等于 7x/15。 好的,这里,如果你思考当 x变得越来越负的时候会发生什么。 好的那就会变得越来越大, 你会得到一个越来越负 的f(x)值。 所以,再次,f(X)将会 趋近于负无穷 当x趋近于负无穷的时候。 让我们再做一个。 所以这里它们告诉你 找到q的水平渐近线。 水平渐近线,你可以把它思考成 当x趋近于无穷的时候, 函数值趋近于什么, 或者当x趋近于负无穷的时候。 这里有几个例子。 这里q(x)是什么不重要。 但你可以想象一个函数, 它的水平渐近线是 y=2, 这是y=2。 让我画一下这条线。 所以,水平渐近线就是这样。 好的图像看起来就是这样的。 它可以像,让我画几条 水平渐近线。 所以,可能是这里, 但当x变得越来越大的时候, 它开始趋近于y=2 但不是真的到了y=2。 也可以在这一侧。 当x变得越来越负。 当它变得越来越负,它会靠近它 但永远都不会到达那里。 或者,可能像这样。 你可以有一个垂直渐近线, 它可能看起来像这样。 它从底部靠近水平渐近线 当x变得更负的时候。 如果从上面的话, 当x变得更正的时候。 反之亦然。 反之亦然。 所以这就是水平渐近线。 它会向你展示,当x变得越来越大的时候 这个函数会靠近哪个数 或者当x变得更负的时候。 好的让我们思考一下。 我们可以应用 我们在上一题的方法。 如果我们 如果我们要除以这些 分母中的最高次项会发生什么? 好的,如果我们这样做,q(x)就会等于, 分母中的最高次项 是x的九次方。 所以我们可以说6, 6x^5除以x^9 等于6/x^4, 然后减去2/x^9。 分母, 我要把这项除以x^9, x^7+1. 好的,如果x趋近于正无穷或负无穷, 6除以一个特别大的数, 将会等于0. 2除以一个特别大的数, 无论是正还是负, 都会等于0. 所以你的分子将会等于0. 分母这项,3除以 一个特别的数, 无论是趋近于正 还是负方向, 都将会趋近于0. 它将会趋近于0如果是负方向, 或者我们说从下侧。 如果我们考虑的是负x。 如果我们考虑的是正x, 那么就会从上侧趋近于0. 我们将会得到越来越小的正数。 所以这些都将会等于0 然后这里这个,将会保持不变,1. 然后如果分子在趋近于0 然后分母趋近于1, 那么整个都会趋近于0. 所以这里,q(x), 你有一条水平渐近线 就是y=0。 我不知道这个图像会是什么样子 但是我们可以画一条y=0的线 然后函数会趋近于它。 函数会从上下两侧趋近于0. 让我们再做一个。 当x趋近于负无穷的时候,f(x)会趋近于什么? 好的,让我们把这些项除以 分母中的最高次项。 我们可以看到一个x^4。 所以,3x^4除以x^4等于3. -7/x^2,我就是 除以x^4,-1/x^4, 分母是,x^4/x^4等于1, -2/x,加上3/x^4. 这两个是相等的 我们要想的是当x 趋近于负无穷的时候, 函数值会趋近于什么。 我刚刚把所有的都除以了x^4。 当x趋近于负无穷的时候 会发生什么呢? 这个会趋近于0. 这个会趋近于0. 这个会趋近于0. 这个也会趋近于0. 所以这些都会等于0, 我们剩下的就是函数将会趋近于的, 我们将会趋近于3/1, 就是3. 另一个方法是 看最高次项。 3x^4,x^4. 把其他的都忽略因为它们 都会被最高次项除尽。 所以,如果你可以说f(x)近似等于 3x^4/x^4 对于所有x值。 x值。 负数依旧是一有大的数值大小, 大的绝对值。 然后所以,3x^4除以x^4, f(x)将会近似等于3. 或者说趋近于3. 所以这就是另一个我们可以应用的方法。