乘法结合律介绍

如图所示,这个排列有$3$‍行,每行有 $2$‍ 个小圆点. 我们可以用表达式 $3\times 2$‍ 去表示这个排列.

下图表示$4$‍份相同的 $3\times 2$‍ 的排列.

我们可以用表达式 $(3\times 2)\times 4$‍去表示这个排列.

进行数数, 我们可以得到总数 $24$‍.

改变括号的位置,先把后两个数相乘,会得到相同的结果吗?

改变括号位置使 $2$‍ 和 $4$‍先相乘: $3\times (2\times 4)$‍。

我们可以画出表示这个表达式的排列.从每行有$4$‍个小圆点的 $2$‍ 行点开始. 这个排列表示 $2\times 4$‍.

$3$‍ 份同样的排列表示 $3\times (2\times 4)$‍。

进行数数, 我们可以得到总数 $24$‍.

先把后两个数相乘不会改变运算结果!

三个数相乘,先把前两个数相乘,再和另外一个数相乘,或先把后两个数相乘,再和另外一个数相乘,积不变,叫做乘法结合律.

现在我们用下面这道例题理解乘法结合律.

先把 $5$‍ 和 $4$‍相乘. 我们可以一步步算出结果.

现在,先把 $4$‍ 和 $2$‍ 相乘.

我们可以得到相同的结果.

这三个表达式算出的结果是相等的:
$\phantom{=}5\times 4\times 2$‍
$=(5\times 4)\times 2$‍
$=5\times (4\times 2)$‍

下面我们用两种方式计算同一个表达式.

先把后两个数字相乘,计算同一个表达式.

$(3\times 2)\times 5=30$‍ 和
$3\times (2\times 5)=30$‍

用两种方式计算,我们得到相同的结果.

我们可以通过乘法分配率找到等价的表达式.

从表达式 $2\times 2\times 5$‍开始.

我们可以找到和表达式 $2\times 2\times 5$‍等价的两种表达式:

一步步计算每个表达式,我们又可以找到其他等价的表达式.

所以我们最初的表达式, $2\times 2\times 5$‍, 也等于 $4\times 5$‍ 和 $2\times 10$‍.

乘法结合律能把解决乘法问题变得更容易.

现在我们看到表达式, $4\times 4\times 5$‍.

我们可以用两种方式计算:

如果一步步计算第一个表达式,可以得到: $(4\times 4)\times 5=16\times 5$‍

如果一步步计算第二个表达式,可以得到: $4\times (4\times 5)=4\times 20$‍

计算 $4\times 20$‍ 会比计算 $16\times 5$‍更加简单.

虽然我们用不同方式计算, 但是计算的结果相同.