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中值定理的应用

即使一个警察没有看见你超速驾驶,他还是可以推断何时你一定曾超速行驶..... Sal Khan 创建

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你可能会认为中值定理是微积分课上晦涩难懂的定理 你可能会认为中值定理是微积分课上晦涩难懂的定理 我们今天的视频会看到它的实际应用 至少是隐式应用—— 给超速的人开罚单 我们来看例题 假设这里是高速收费站 你是在高速公路上,点 A 这里是收费站 你在下午一点整到达收费站 高速公路的电脑和其他设备会记录下来 假设你车上有电子付费设备,类似 ETC 假设你车上有电子付费设备,类似 ETC 可以从设备对应的账户里扣高速费 可以从设备对应的账户里扣高速费 设备显示你在下午1点整到达 假设你之后离开了收费高速公路 假设你之后离开了收费高速公路 咱们就说从B点离开吧 在下午 2 点整到达 B 我挑这些数字为了好算 假设两点间距离是 80 英里 那么路程就是 80 英里 假设限速是 55 英里/小时 (注:相当于 90公里/小时) 假设限速是 55 英里/小时 (注:相当于 90公里/小时) 题目问,有办法证明车辆超速吗? 题目问,有办法证明车辆超速吗? 来,我们画个图 我觉得你们知道结果是什么 来画图看看 假设这里是我们的位置点 我写成 s 轴吧,s 代表位置 单位是英里 miles 这个 s 本身不代表位置 但是写 p (Position),这看着像密度 ρ d 又用来表示距离或位移的微分 所以通常就用 s 表示位置了 s 代表位置 横轴 t 代表时间 time 单位是小时 hours 我们要看的是从 1点 到 2点 这个区间 我们要看的是从 1点 到 2点 这个区间 我这坐标轴不成比例了 我把这里改成断开吧 这样就不会觉得我没按比例画了 这样就不会觉得我没按比例画了 因为咱们只看这个区间段 这里的时间 t =2 小时 这里 t =1 对应的位置是 s(1) 这里 t =2 对应的位置是 s(2) 这里 t =2 对应的位置是 s(2) 这里 t =2 对应的位置是 s(2) 在这个坐标系上 这是已知的全部条件了 这是已知的全部条件了 其他还有一些已知的 我们知道时间变化量是 2 - 1 还知道位置变化 ∆s 还知道位置变化 ∆s ∆s = s(2) - s(1) = 80 位置的变化量是 80 英里 我们就这样写吧 为了简化,假设高速路是直线 这样路程的变化就是位置的变化,也是位移的变化 这样路程的变化就是位置的变化,也是位移的变化 都是80英里 时间变化量 ∆t 是多少呢 ∆t = 2-1 =1 小时 ∆s / ∆t = 80 英里/小时 或者说连接这两点的直线的斜率 或者说连接这两点的直线的斜率 我换个颜色 这条线的斜率是 80 英里/小时 这条线的斜率是 80 英里/小时 或者说在这一小时内的平均速度是 80 英里/小时 或者说在这一小时内的平均速度是 80 英里/小时 那在法庭上权威人士能做什么呢 我从来没听过数学定理可以被这么引用,但他们可以 我从来没听过数学定理可以被这么引用,但他们可以 我记得大约10年前读到过这个 当时很有争议 权威人士说,看吧,在这段时间内 你的平均速度显然是每小时80英里 所以在这个小时内的某个时间点 他们可以引用中值定理 你在某个点的速度,至少是整整 80英里/小时 你在某个点的速度,至少是整整 80英里/小时 你在某个点的速度,至少是整整 80英里/小时 而且你还很难反驳 因为你的位置点,作为关于时间的函数 在这个区间内是连续可微的 在这个区间内是连续可微的 这是连续的,你不是从一个地方瞬移到另一个地方 这是连续的,你不是从一个地方瞬移到另一个地方 那你这车就神了 而且全程是可微的 你总是有个确定的速度 所以我试问,有没有一种可能 用一条连续可微的曲线将这两点连接起来 用一条连续可微的曲线将这两点连接起来 在线上某点的瞬时速度,也就是切线的斜率 不等于这条线的斜率 答案是不可能 中值定理告诉我们这不可能 我来画图 比方说 我在高速路上要停车付钱 我在高速路上要停车付钱 然后我开始提速 此时瞬时速度小于平均速度 此时瞬时速度小于平均速度 这里提速 切线的斜率 但是如果我想在那个时间到达那里 特别是因为我在接近收费站的时候必须减速 特别是因为我在接近收费站的时候必须减速 那我只能这样连接这两部分了 必须在某个点,大概这里吧 我要提速到比 80英里/小时 还快 而且中值定理告诉我们 这个函数在这个区间内是连续可微的 这个函数在这个区间内是连续可微的 在闭区间连续 在开区间可微 在开放区间中至少有一个点 叫做 c 点吧 至少有一个点的瞬时变化率 也就是切线的斜率 与割线的斜率相等 这个点看起来像这里这样 这个点看起来像这里这样 如果这里是时间 c 看起来在 1:15 左右吧 根据中值定理,存在某个点 可以使得这个时刻的 s'(c) = 平均速度 = 80 英里/小时 而且看起来不止一个点 这个点看起来也可以是点 c 这个点看起来也可以是点 c