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立体图形中的勾股定理.

勾股定理在三维图形中也很有用!你能找到隐藏在棱柱体与金字塔的直角三角形吗?.

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这里有一个有趣的 形状 底部是一个矩形棱镜 这个矩形棱镜的各边长 如果我们可以称它们分别为 3个单位高,4个单位宽,4个单位长 然后在这个顶上 可以看到有一个可以称之为直立棱锥的图形 这个直立棱锥的高 如果从它底部的中心 往上一直到顶部 这个高度是1个单位 这个没有完全按照比例来画 并且是有一点带倾斜的角度来看的图形 但是我们的目的 是要算出这个直立棱锥的长度是多少 就是算这些边的长度是多长 不管是这条还是那条 长度等于多少 我们假设为x 我建议您暂停视频 自己先来做一下 记住这是一个直立棱锥 也就是说这个红线 是1个单位长,它是垂直的 它垂直于这个平面 它也垂直于矩形棱镜 的顶部面 记住这个,然后 请暂停视频自己算一下 我给你一个提示 就是要用上勾股定理 而且不止一次 好了,我想你已经试过了 我们现在来一起做 最关键的在什么地方,在这个点 这个面上的这个点 在这个方向上它在中心 在这个方向上它也在中心 所以我们可以来想,这个整个长度是 这个长度为4 所以一半的地方 我来分别写下来 这边就是2,那另一边也是2 就像这样 另一方面我们可以得到的就是 这个长度是多少 因为这个又是这个方向的一半 那么如果整个单位是2 我们可以这样来看 因为这是一个矩形棱镜 所以这条边和这条边边长相等 所以如果整个这个是2,那么每个部分 就应该为1 那么这里就等于1 那么这将说明什么 我们可以用这个信息 来求出这个的长度 实际上,我还是保留这个颜色 因为它容易看 我们可以算出这个长度 那么为什么要算这个长度呢 因为我们知道 这个边长是直角三角形的一条边 这个长度和边长为1的边是 这个直角三角形的2个非斜边 那么x就正好是斜边 所以我们正好可以用勾股定理 所以如果我们可以算出这个,我们就可以算出x 我们一步一步来做 我们怎么来做呢 我就叫这个为长度a 那么怎么来算a呢 我们把它拿出来 在平面里来做 那么如果我们在平面里看 如果我们在二维空间来看 就会看起来像这样 这个是长度a 我们知道这个长度 是这条边的一半 那么这个就是1 我用一样的颜色来做 所以这个 就和这个是一样的 那么这个就是长度1 那么这个 就是和这个是一样的 也就是长度2 我们就可以用勾股定理了 我们知道斜边的平方 就等于1的平方 加2的平方 1的平方加2的平方 当然就等于1加4 等于5 我们可以写成a 我用红色来做 那么a的平方等于5 那么a 就等于根号5 所以这个边 长度就等于5的平方根 现在我们又用它来求解x 来看这个直角三角形 这需要有一点视觉上的练习 来看出这个是一个直角 但是,它的确是一个直角三角形 这个高的长度为1的边 垂直于整个平面 我看看能不能画出来 所以我们有这条边 就是5的平方根 我们还有这条高度 我这样来画 我们说到的这个高度 在这里是长度等于1 我来画在这里,这个长度为1 我们来求解x 我用橘色来表示x 我们来求解x 我们知道这个直角三角形 这里是直角 我们可以再一次用勾股定理 所以x的平方等于1的平方 我写在这里 1的平方加根号5的平方 加上根号5的平方 那么x的平方就等于 1加5,对吗 根号5的平方就等于5 所以1加5等于6 那么x就等于6的平方根 我们就做出来了 我们求出了这条边的长度