用变换来做证明

这是可汗学院 线和角证明练习的截屏。 我想，我们可以用它 进行线和角的证明练习。 这些练习的巧妙之处在于 它利用平移和变换 来证明问题。 我们就来看一下它是怎样说的。 题目说到，直线 AB 和直线 DE 是平行的直线， 好， 进行平移，来证明 同位角总是相等。 请选择能够解释证明的表述 好，我们来看它是怎么做的。 题目说，进行平移， 从而证明同位角总是相等。 选择能够解释证明的表述。 这里取两个同位角， 你可以看到这个是左下角， 这个是 ø ，这里有 θ， 它也是左下角。 所以它们同位角。 直线 FB 是横穿直线， 这条直线 AB，这条线叫什么？是叫它 DE 吗？ 和这条线 DE，是平行线。 我们需要证明这两个角， 这两个角度是相等的。 你可以用许多几何方法来证明， 在可汗学院的视频中我们做过， 但是这个练习，让我们选择平移， 进行平移，我们看怎样做。 我按平移键，然后在周围移动， 我能注意到，它就会平移这四个点。 它的效果就是 平移整个相交的直线， 我们取这个鼠标现在所在的点， 就是点 D，我让它在周围移动， 如果我把它移动到 B， 可以看到， 在平移的时候，角度的大小不应该变化。 这样，这个角 就到这里了，θ 是角CDF 角度， 当你把它平移到这里， 这里的这个角应该是同样的， 这个角度与角 CDF 的角度相同。 我只是平移它， 而当你把它移动到这里，你会看到 它和 ø 的角度完全相同。 这是考虑问题的一个方法。 我只是把点 D 平移到 B， 它实际上就把角 CDF 平移到角 ABD。 这样能看出这两个角度相同。 或者，至少可以对 两角度相同感觉比较认同。 让我们来看都有哪些选项。 让我来，--我的鼠标操作除了点问题-- 好了， 平移 F 到 D，所以，点 F 到点 D, 点 F 到点 D, 我们没有把 点 F 映射到 点 D， 这已经看起来有疑问了， 产生一条新的直线，它是线段 DB 的平分线。 一条新的直线是线段 DB 的平分线， 这看起来和我们刚才做的不相干， 我看下一个选项。 因为一条直线的图像在平移时 与原来的直线平行，这是对的， 点 D 到点 B平移， 这正是我刚才做的， 也使角 CDF 和 ABD重合， 这是我做过的，我把把角 CDF映射到 ABD， 这正是我在这里做过的。 把它移动到 ABD，平移保持角度的大小， 所以，θ = ø 。 好，这个选项看着很好！ 平移，使 D 与 E 重合， 我没有这样做，我没有取 点 D， 然后把它这样移到 E , 这对我毫无用处， 我们继续读完，只为了确认。 产生了一个平行四边形，这是对的， 如果我把 点 D 平移到 E， 确实能构成平行四边形， 但这对于使 θ = ø 没有任何帮助。 对这个选项，我不觉得是个好的选择。 很好， 我们对中间这个选择感觉良好。 再做一个练习。 题目说，直线 AOB， 其实它可以说直线 AB， 但是我猜他们想把 O 放进去以表示 点 O 也在直线上，AOB 共线。 COD 是我们的直线，好，足够好。 这些表述哪个可以证明 对顶角总是相等呢？ 对顶角是相交直线的两边 相对的角， 为了证明对顶角-- 比如角 AOC 和 角 DOB 就是对顶角。-- 如果我们要证明它们相等， 我们就要说它们的角度相等， θ 应该等于 ø 。 我们来看这些表述中的哪一个可以证明这一点。 这个选项说，线段 OA 和线段 OD 全等， OA 和 OD 全等。 我们不知道这一点，题目从没有告诉我们。 所以，我就不必读其余部分了。 这里已经说了，我不知道 D 离 O 有多远，我不知道 它和 A 到 O 的距离是否相同。 所以，我们把第一个选项排除在外。 我可以停止读这个表述，这个选项的一开始的表述 是我们根据题目给出的信息无法认同的。 我们来看第二个选项。 如果将射线 OA 和射线 OC 绕 O 点每个射线都旋转 180°， 它们就会分别映射到 OB 和 OD。 如果两条射线旋转同样的角度， 它们之间的夹角就不会改变。 所以 ø 就一定等于 θ 。 这很有意思， 让我们慢慢想一下这里的含义。 如果射线 OA 和 OC 都旋转 180°， 这里，我们取射线 OA ， 如果把它旋转 180°， 它就一直转到另一个方向， 它就成为-- 它就映射到射线 OB 。 我绝对相信这一点。 OA 映射到 射线 OB， 射线 OC，如果你把它旋转 180°， 它就映射到射线 OD。 第一段叙表述是对的。 如果射线 OA 和射线 OC 都旋转180°，它们就一定 分别映射到射线 OB 和射线 OD。 当说到“分别” 就是指顺序相同， 即射线OA 映射到射线 OB, 射线 OC 映射到 射线 OD。 我们可以看到，射线 OA 映射到-- 如果你把它一直旋转到180°， 它就映射到 OB，然后，如果你把 OC 旋转 180°， 它就映射到 OD。 对于这第一句，我感觉不错。 如果两条射线旋转同样角度， 它们之间的夹角不会改变。 对，我能认同。 特别是如果它们旋转 对，我认可， 如果两个射线旋转同样角度， 它们之间的夹角不变。 如果我们把它们都旋转180°， 我们实质上就把它们映射到 OB 和 OD。 或者用另一个方法，我们来考虑这个角， 角 AOC 会映射到角 BOD。 所以这两个角度就是相同的。 ø 一定等于 θ 。 我非常喜欢这第二个表述。 我们来看最后一个表述。 旋转保持长度和角度， AB 与 CD 全等， 实际上，我们不知道 线段 AB 与 CD 全等，题目没有告诉我们。 我们不知道它们相差多远， 所以我们知道 ø 等于 θ。 这里的这个表述有疑点。 所以我不喜欢它。 我要选择前面的选项， 这需要观察， 如果你取角AOC 然后旋转180°，也就是你取相应的射线， 或者说组成这个角的射线，把它们旋转180°， 你就得到角 BOD 。 而射线之间的夹角， 也就是我们刚才说的角度， 不会改变。 我非常认可这第二个选项。