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主要内容

闭区间的平均值

函数在闭区间的平均值.

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视频字幕

本视频中我们想考虑一下 在某个闭区间内函数的平均值, 这个是什么意思,乃至函数的平均值是什么意思 我们说,这个是y轴,这个这里是x轴 我画一个函数曲线出来, 比如说,这个函数像这样,函数是 y等于f(x), 现在考虑一个闭区间, 我们考虑这个a,b之间,a,b包含在内,使它成为闭区间 包含端点,我们考虑这里的这个区间 介于x等于a和x等于b之间, 函数值的平均值是多少,一种思考的方式是,这个函数的平均高度 是多少,它是什么意思? 一种思考的方式是 它应该是某个高度,使得如果我们把它乘以区间的宽, 我们应该得到曲线下的面积。另外一个思考的角度是 它是这里曲线下的面积,我们换个不同颜色, 这个曲线下面的面积,我们涂上黄色阴影 我们已经知道可以用从a到b的f(x)dx的定积分 来表达这个,函数在这个闭区间a,b的平均值 我写在这里,闭区间a,b, 包含a和b,我们可以想象它是某种高度 我换一个新颜色,函数的某些值,某些高度 比如,这里这个高度,如果我们把这个高乘以 这个宽,我们会得到这个长方体的面积, 会是这里这个长方形的面积, 这个长方形和曲线在这里的面积相等, 如果你想一下计算面积的做法, 想象一下计算梯形的面积 如果有一个梯形,比如像这样, 某种程度你可以把它变成90度,但是你把 它的高乘以宽的平均值,得到梯形的面积 然后,这个就是宽的平均值,在这样的梯形中 这个函数不是线性函数,所以,它不会等于 区间的中间值,但是同样的概念,我们可以运用 这里这个区域,这里这个高度, 我们可以称之为函数的平均值, 我们如何运用这些来得到一个公式, 来计算函数在这个闭区间的平均值,我们用数学来表达 我们已经说过,这个函数平均值 应该等于某个高度,我们说,这个函数平均值, 如果我们将它乘以区间的宽,,也就是这里这个宽度 也就是这个大的数值减去小的数值, 也就是b减去a,所以函数的平均值 乘以区间宽,得到的是面积,等于这个曲线下面的面积 所以,等于从a到b的f(x)dx的定积分 如果我们知道了所有这些其他的部分 我们就解答出了函数的平均值。我们将两边同时除以 b减去a,函数的平均值就等于 这个从a到b的f(x)dx的定积分, 1除以b减去a,或者另外的思考方式是, 先算出在区间内曲线下的面积, 将它除以区间的宽度, 然后就得到函数的平均值, 你得到的是一个平均高度,再次,我想提醒一下 不要只是背诵这个 要从概念上理解它,它是曲线下面的面积 除以宽度,就得到了平均高度, 也就得到了函数的平均值 下个视频,我们用这个公式, 如果算出了定积分,计算其实很直接