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课程: 多变量微积分 > 单元 5

课程 8: 散度定理（文章）

三维散度定理

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这个散度定理也被称为高斯散度定理，是一个用来转化曲面积分和三重积分的工具。

背景知识

并非必读, 但对于理解有帮助:

散度在三维中的正式定义

我们要做什么

设置
- $F (x, y, z)$ ‍ 是一个三维矢量场.
  - $V$ ‍ 是一部分三维空间 (想象一块漂浮在宇宙中的一团东西).
  - $S$ ‍ 是 $V$ ‍ 的表面.

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高斯散度定理把体积 $V$ ‍ 中的 $F$ ‍ 的散度和通过表面 $S$ ‍ 的向外通量 $F$ ‍ 关联起来:

$\underset{\begin{matrix} 将 V 中的向外通量 \\ 一点点加起来 \end{matrix}}{\underset{⏟}{∭_{V} div F d V}} = \underset{\begin{matrix} 测量通过 V 的边界的 \\ 总向外通量 \end{matrix}}{\underset{⏟}{\overset{通量积分}{\overset{⏞}{\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ}}}}$ ‍

这背后的基本思想是, 散度测量了流体在每一个点向外的流动, 而通量测量的是整个区域的向外的流量, 所以将每一点散度加起来得到的值就等于通量.

表面必须是封闭的

在接下来的内容中, 我们希望你想象一个在空间中的表面. 但是与斯托克斯定理不同, 散度定理只能被应用于 封闭的表面, 意味着这个表面 没有分界线. 比如说, 一个半球不是一个封闭的表面, 它的分界线是一个圆形, 所以你不能对它使用散度定理。

然而, 如果你在底部加上一个圆形, 并认为这个圆形与半球是一个整体, 你现在就有了一个体积为半球的封闭表面. 在这种情况下, 给定一些矢量场, 我们就可以对这个半球加圆形底的封闭表面使用散度定理。

这里的原因是我们需要能够讨论被这个表面所 包围起来 的三维体积, 而对于开放表面来说这并不适用.

一些拓展

如果你理解三维通量, 三重积分, 和二维散度定理背后的思想, 你就其实已经理解了三维散度定理。只需要你把这些概念组合在一起.

从整体观察向外流动量: 通量

当我们认为一个三维矢量场

F (x, y, z)

表示了一个液体流, 通过表面

S

的通量

F

测量的是单位时间内有多少液体通过那个表面. 我们可以通过下列积分进行计算:

$\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ$ ‍

你可以认为这个积分的含义是, 将整个表面分解成许多的小片, 其中

d Σ

表示的是每一片的面积. 上面带一个小角的

\hat{n}

是一个方程, 这个方程在表面上的每一点都会给出一个相应的单位垂直向量.

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当

F \cdot \hat{n}

的点乘值很大的时候, 它意味着液体的流动方向跟

\hat{n}

是很相近的, 因此表示了液体在这一点上通过表面的流速是非常快的. 注意, 这意味着当液体的流向与单位垂直向量

\hat{n}

的方向一致的时候, 通量积分是正的, 如果方向相反通量积分就是负的.

在这篇文章中, 想象

S

是一个 封闭的 表面的情况, 包围了一些三维体积

V

. ("封闭的" 的意思是它没有边). 如果

S

的方向是由向外的单位垂直向量所指示, 通过

S

的

F

的通量测量了液体以多快的速度离开这部分体积

V

. 就像是去这个边界上的每扇门进行测量, 把所有离开的液体加起来, 然后减去所有进入的液体.

$\iint_{S} \overset{\begin{matrix} 有多少液体 \\ 离开/进入? \end{matrix}}{\overset{⏞}{F \cdot \hat{n}}} \underset{每一小片面积}{\underset{⏟}{d Σ}}$ ‍

从局部观察向外通量: 散度

在任何维度下的散度, 测量的是液体从空间中流出的趋势. 更具体一点的说, 如果你取空间上的一点,

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

, 以及它周围的一小块体积

V_{小块}

, 沿着矢量场

F

离开这小块体积的液体的流速大致等于下列表达式:

$\underset{散度}{\underset{⏟}{(\nabla \cdot F (x_{0}, y_{0}, z_{0}))}} \overset{V_{小块} 的体积}{\overset{⏞}{| V_{小块} |}}$ ‍

换句话说, 散度给我们的是一个点周围 单位体积 的向外流量. 在我们用它来估计实际的向外流速之前, 我们必须先乘以体积的原因是, 一个点上的散度与你所想的那个点周围的体积大小并没有关系. 但是对于小的体积来说向外流速更小, 理由是因为小的体积中能这么做的流体更少.

将局部观察加起来得到整体观察

接下来, 为了理解为什么我们要引入三重积分, 先思考下列过程:

将一个三维体积 $V$ ‍ 分解成很多小块 (小的三维体积块).
计算每块里的散度 $F$ ‍.
把它乘以小块的体积.
把你所有得到的值加起来.

这所表示的是由于

F

通过整个体积

V

而产生的 "总向外流量". 但是就像我们在上面已经讲述的, 我们也可以通过测量通过

V

的表面

S

的矢量场

F

的通量来得到.

上述过程也描述了三重积分背后的思想:

$∭_{V} \overset{散度}{\overset{⏞}{\nabla \cdot F}} \underset{\begin{matrix} 一小块 \\ 体积 \end{matrix}}{\underset{⏟}{d V}}$ ‍

让这个式子与

F

通过

V

的表面的通量相等, 我们就得到了散度定理:

$\underset{\begin{matrix} 将 V 中的向外通量 \\ 一点点加起来 \end{matrix}}{\underset{⏟}{∭_{V} div F d V}} = \underset{\begin{matrix} 测量通过 V 的边界的 \\ 总向外通量 \end{matrix}}{\underset{⏟}{\overset{通量积分}{\overset{⏞}{\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ}}}}$ ‍

用处

曲面积分和三重积分计算起来都非常复杂. 但是散度定理给了我们一个可以让他们互相转化的工具, 很多时候这可以帮助我们把一个特别困难的曲面积分转换成一个更简单的体积积分. 如果体积

V

是我们熟悉的形状的话这个方法会更有效, 比如说一个球体, 并且如果散度方程还比较简单.

你可以在下一篇文章做使用这个定理的例题.

它同样也是一个非常强大的理论工具, 尤其是对于物理来说. 比如，在电动力学中, 它让你可以用散度, 或者使用曲面积分来表示各种各样的基本定理, 如高斯定理。这对于概念理解非常有用. 有些情况下我们从局部思考会更简单, 比如空间中每一点上电荷所产生的电场. 但其他时候你可能会想要一个更整体的视角, 可能是理解一个电场是如何通过一整个表面的.

总结

散度定理说的是, 当你用一个三重散度积分将一个体积内所有小块向外流量加起来的时候, 它会给你那块体积的总向外流量, 这也可以通过测量通过其表面的通量得到.

$\underset{\begin{matrix} 将 V 中的向外通量 \\ 一点点加起来 \end{matrix}}{\underset{⏟}{∭_{V} div F d V}} = \underset{\begin{matrix} 测量通过 V 的边界的 \\ 总向外通量 \end{matrix}}{\underset{⏟}{\overset{通量积分}{\overset{⏞}{\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ}}}}$ ‍

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