散度定理证明（第4部分）

像这种大型的、多步骤的证明， 很容易就让人迷失方向。 我们是要证明散度定理， 我们先表示出了 通过曲面的通量， 然后表示出了散度的三重积分。 我们说，如果我们能证明 相应的每一项都相等， 那么就成功了。 然后，我们通过说明这是第 1 类区域， 来证明这部分， 这是第 2 类区域，来证明这部分， 这是第 3 类区域，来证明这部分。 具体来说，如果这是 第 1 类区域，我们就能证明这部分。 然后我们就能用同样的逻辑， 证明剩下两个部分， 这样的话，就证明了散度定理。 所以重点在这部分。 具体来说，重点在求解这个曲面积分。 为了求解曲面积分， 我们把整个表面分成三个曲面， 上表面、下表面、 以及侧面——很像一个不规则的柱体， 上下表面可以不是平面。 对于第 1 类区域，都不一定有侧面， 上下表面在积分区域中没有碰到一起， 这种情况才有侧面， 所以分为三个曲面。 但是，侧面的法向量， 并没有 k 方向上的分量， 所以在与单位向量 k 做点乘时， 结果就是 0， 所以整个表面的积分就简化为 在上表面 s2 的积分和在下表面 s1 的积分。 上个视频中，我们求解了 s2 上的曲面积分， 至少化简为积分区域内的二重积分。 现在，我用同样的方法处理 s1。 再提醒一下自己，我们的目标是什么。 我们想要解出 s1， 这个曲面积分—— 应该说我们想解出 s1 上的曲面积分， 是 R(x,y,z) 上面我们只写了 R， 但这样更清楚的表示 R 是 x,y,z 的函数， 乘以 k 点乘 n ds。 而求解任何曲面积分的方法， 是首先把曲面进行参数化处理。 将曲面参数化， 我们说 s1—— 我不想用字母 O， 看起来像 0， n 也已经被法向量占用， 所以用 e， 我们将曲面参数化，就等于 x 乘 i 加 y 乘 j 加—— 因为这是第 2 类区域， 曲面是关于 x 和 y 的函数—— 加 f1—— 关于 x,y 的函数——乘以 k。 f1 函数在这里， 是我们区域的下表面。 对积分区域内的所有 x,y 都成立。 这就是曲面的参数化。 然后我们要考虑 该怎么表示这个 nds。 n 乘以 ds—— 我们已经做过很多很多很多次了 ——实际上是 ds， 我们真做过很多次了。 它就等于曲面的参数化形式 对一个参数的偏微分 然后叉乘对另一个参数的偏微分， 然后乘以 dA。 但我们要确认顺序是否正确， 所以我提出， 它应该等于参数表示的 y 偏微分 叉乘参数表示的 x 偏微分， 然后，乘以 dA。 但我们还是要确认方向正确， 因为，这是区域的下表面， 我们需要的方向是指向下方， 也就是向外。 所以如果是 y 方向， 它是指向这里的， 对于 x 的方向，指向这里， 然后应用右手定则， 你的大拇指指向下方，像这样。 我画的是右手。 我的食指是这样， 我的中指是这样， 其他两个指头我不关心， 然后我的大拇指就是向下的。 这就是正确的顺序， 它跟我们上次的顺序正好相反。 你会看到，这是个负值， 这样继续做下去 会更加清晰。 这一部分就等于—— 我们来写单位向量 i，j，k 它等于所有这些乘以 dA， 然后是 e 关于 y 的偏微分， 是 0， 1， f1 的 y 偏微分， 对 x 的偏微分等于 0，1， f1 对 x 的偏微分。 然后，继续推导， 我画个虚线在这， 整个部分就等于 一些东西乘以 i， 减去另一些东西乘以 j， 而 k 分量， 就是 0 乘 0 减去 1 乘 1， 也就是 -k，然后， 所有这些乘以 dA。 我为什么不关心这些东西是啥， 是因为我还要跟 k 点乘， 所以这所有的东西， ——我都表达为在 x,y 区域内。 现在我就可以写， 它就等于一个二重积分， 我还是用这个紫色， 因为曲面积分就是这个颜色， 它就等于在我们参数区域的二重积分， 在 xy 平面内，R—— 我写清楚一些 R(x,y,——我不写 z， z 就是 f1(x,y)， 所有项都是同样的参数。 然后乘以这一部分， k 点乘这些， k 点乘这些等于什么？ k 和 -k 的点乘等于 -1， 所以只剩下 -dA， 我们把 dA 写在这里， 负号写在最前面。 所以，我们把这个曲面积分， 表示为两个二重积分的和。 我找到了， 是这个积分，与这个积分的和。 我来写一遍， 让它更清楚一些。 这个曲面积分， 我写在这里， 这个曲面积分是在整个表面上的积分， R 乘 k 点乘 n ds，等于二重积分—— 我换种颜色—— 等于二重积分，积分区域是 D， 然后是它减去它再 dA， R(x,y——然后是 f2(x,y)， 它减去这个—— 减去 R(x,y——然后是 f2 不对，是 f1(x,y)， 是这个部分， 然后所有这些再乘以 dA。 我们刚证明了这个等于这个， 我们要证明的就是这个 也等于刚才那个表达式 这样就证明对于第 1 类情况，它成立。 然后同理第 2 类和第 3 类情况也成立， 之后，咱们就可以说，在简单实心区域中， 散度定理成立，好开心。