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课程 3: 格林定理（文章）

格林定理示例

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格林理论是美妙的，但这里你可以了解它实际上是如何被应用。

背景知识

格林定理

记住公式

格林定理通常是这样写作如下形式:

$\oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$ ‍

考试和练习中的题目常以这种形式出现。但就我个人而言，永远无法以

P

和

Q

形式来彻底记住这个公式。

"是 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ ‍ 还是 $\frac{\partial Q}{\partial y}$ ‍ 来着?"

"哪一个是被减项？"

我总是从考虑这种形式开始:

$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{R} 2d-curl F d A$ ‍

我觉得这更容易记住，因为它具有实际上的物理意义（参阅上一篇文章）：

围绕闭合曲线 $C$ ‍ 的向量场的线性积分 $F (x, y)$ ‍ 描述了围绕边界 $C$ ‍的流体旋转。
旋度 $F$ ‍ 的二重积分是曲线 $C$ ‍ 内封闭空间 $R$ ‍ 中的所有细微流体旋转的加和。
直觉而言这些项理应是相关的。而事实是，他们是相等的。

要获得定理的

P Q

版本，只需将

F

的化为

P (x, y)

和

Q (x, y)

：

$\begin{array}{r} F (x, y) = [\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}] \end{array}$ ‍

（为记住

P

是

x

部分而

Q

是

y

部分，可以通过联想

P

在英文字母表中出现在

Q

前面）。

接下来，展开所有的线性积分、旋度等。这样做了几次后，在你的脑海里做起来这些操作就是很自然的事情了。

$\begin{aligned} \oint_{C} F \cdot d r & = \iint_{R} 2d-curl F d A \\ ⇓ \\ \oint_{C} [\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} d x \\ d y \end{array}] & = \iint_{R} 2d-curl ([\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}]) d A \\ ⇓ \\ \oint_{C} P d x + Q d y & = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y \end{aligned}$ ‍

当然，这需要你记住计算二维旋度的方法，但这个本来也是理应记住的知识点，即使不是为了应用于格林定理。

警告：格林定理只对 逆时针 方向的曲线适用。如果你想顺时针地对一个曲线积分同时应用格林定理，你必须在过程某处将结果的符号反过来。

怎么知道什么时候使用格林定理？

"数学不是一项观赏性运动" - George Polya （数学家波利亚）

要想领略到它的有用之性，最好的方法就是通过一些例子来简单地体会一下。我将在每个例题之后进行总结，以便更加直观的去理解每个例题。

示例 1: 线积分 $\to$ ‍ 面积

问题：让

C

代表半径

2

圆心位于

(3, - 2)

的圆：

如果逆时针地对

C

积分，请计算下列线积分:

$\oint_{C} 3 y d x + 4 x d y$ ‍

解析

步骤 1 : 问题中的曲线是顺时针还是逆时针方向？

选出正确答案：
(选择 A)
顺时针
(选择 B)
逆时针

我知道这似乎是个很傻的问题，因为题目中明确说明了这一点。但重要的事情多说几遍，要使用格林定理之前必须先问自己这个问题。

步骤 2 : 当我们将格林定理应用于这个积分

\oint_{C} 3 y d x + 4 x d y

时，我们应该用什么作为

P (x, y)

和

Q (x, y)

？

$P (x, y) =$ ‍
$Q (x, y) =$ ‍

步骤 3 : 现在计算

P (x, y)

和

Q (x, y)

的偏导数。

$\frac{\partial Q}{\partial x} =$ ‍
$\frac{\partial P}{\partial y} =$ ‍

步骤 4 : 最后, 计算格林定理中的二重积分。在这种情况下，

R

表示半径为

2

，圆心在

(3, - 2)

的圆所包围的区域。（提示，不要在这个问题上耗费太多精力）。

$\iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A =$ ‍

首先, 代入你在上一个问题中发现的 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ ‍ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$ ‍ 的表达式。
$\begin{aligned} \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A & = \iint_{R} (4 - 3) d A \\ = \iint_{R} d A \end{aligned}$ ‍
在你费尽心思地去表达区域 $R$ ‍ 的 $x$ ‍ 和 $y$ ‍ 边界前，请注意这个积分代表什么。由于里面没有函数表达式，它仅仅是将区域 $R$ ‍ 的各微元相加，因此它等于 $R$ ‍ 本身的面积！
由于 $R$ ‍ 是半径为 $2$ ‍ 的圆，该面积为 $π r^{2} = π (2)^{2} = 4 π$ ‍. 。因此我们的线积分的计算结果是 $4 π$ ‍。

例题1总结

为什么在应用格林定理时，上个例题中的线积分化成二重积分后形式会更简呢？这是因为相关函数的旋度是一个常数：

$\begin{aligned} 2d-旋度 ([\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}]) & = 2d-旋度 ([\begin{array}{c} 3 y \\ 4 x \end{array}]) \\ = \frac{\partial}{\partial x} (4 x) - \frac{\partial}{\partial y} (3 y) \\ = 4 - 3 \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

更普遍来说，如果看起来

Q

对于

x

的偏导会形式简单，并且/又或者

P

对于

y

的偏导形式简单，就可以考虑格林定理。

$\begin{array}{r} \oint_{C} \overset{\frac{\partial}{\partial y} 形式简洁吗?}{\overset{⏞}{P (x, y)}} d x + \overset{\frac{\partial}{\partial x} 形式简洁吗?}{\overset{⏞}{Q (x, y)}} d y \end{array}$ ‍

能够轻易计算有关区域的面积同样很重要。否则，二重积分可能根本就不会变得形式更简。

示例 2: 两个函数图

问题

请考虑以下两个函数:

$f (x) = (x^{2} - 4) (x^{2} - 1)$ ‍

$g (x) = 4 - x^{2}$ ‍

现在考虑这些函数的图像之间的区域。

以

D

表示这个区域的顺时针方向边界。计算以下线积分:

$\oint_{D} x^{2} y d x - y^{2} d y$ ‍

解析

步骤 1 : 问题中的曲线是顺时针还是逆时针方向？

选出正确答案：
(选择 A)
顺时针
(选择 B)
逆时针

由于格林定理适用于逆时针曲线，这意味着我们需要取最终答案的负数。

步骤 2 : 我们应该在积分

\oint_{D} x^{2} y d x - y^{2} d y

中用什么来作为

P (x, y)

和

Q (x, y)

？

$P (x, y) =$ ‍
$Q (x, y) =$ ‍

步骤 3 : 现在计算

P (x, y)

和

Q (x, y)

的偏导数。

$\frac{\partial Q}{\partial x} =$ ‍
$\frac{\partial P}{\partial y} =$ ‍

步骤 4 : 为了应用格林定理，我们将在下垂区域

D

上二重积分，它被定义为图像

y = (x^{2} - 4) (x^{2} - 1)

下方和图像

y = 4 - x^{2}

上方的交界区域。这个二重积分将如以下形式：

$\int_{x_{1}}^{x_{2}} \int_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)} \dots d y d x$ ‍

填写所有这些界限:

$x_{1} =$ ‍
$x_{2} =$ ‍
$y_{1} (x) =$ ‍
$y_{2} (x) =$ ‍

让我们从更简单的开始。问题中明确给出了 $y$ ‍ 的边界：该区域定义为位于曲线 $y = (x^{2} - 4) (x^{2} - 1)$ ‍ 的上方，并且位于曲线 $y = 4 - x^{2}$ ‍ 的下方。这意味着积分的里面为如下所示：
$\int_{(x^{2} - 4) (x^{2} - 1)}^{4 - x^{2}} <略> d y$ ‍
更棘手的部分是知道 $x$ ‍ 的边界。我们的区域的定义甚至没有提到 $x$ ‍。让我们来看看 $y$ ‍-边界的图形：
$x$ ‍-值的边界由这两个图形在左侧和右侧的交点确定。只要看一下图形，你可能就能猜到它们在 $x = - 2$ ‍ 和 $x = 2$ ‍ 处相交。你还可以通过将 $2$ ‍ 和 $- 2$ ‍ 代入各个方程来更准确地检查这一点。
如果你没有函数图像来猜测并验证，你需要求解方程 $(x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 4 - x^{2}$ ‍。
这意味着二重积分整体上有如下的形式:
$\int_{- 2}^{2} \int_{(x^{2} - 4) (x^{2} - 1)}^{4 - x^{2}} \overset{我们待会儿会在这里放入内容}{\overset{⏞}{<略>}} d y d x$ ‍

步骤 5: 最后，为了应用格林定理，我们在积分中代入适当的数值。如果我们原来的线积分是逆时针方向的，我们将代入

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ ‍

但是，由于曲线是顺时针方向的，我们令其为负：

$- (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) = \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}$ ‍

使用前两个问题的答案，将此值代入到你求得的二重积分中，找到最初的线积分问题的答案：

$\oint_{D} x^{2} y d x - y^{2} d y =$ ‍

$\begin{aligned} \int_{- 2}^{2} (\int_{(x^{2} - 4) (x^{2} - 1)}^{4 - x^{2}} \underset{代入步骤 3 的值}{\underset{⏟}{(\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x})}} d y) d x \\ \int_{- 2}^{2} (\int_{(x^{2} - 4) (x^{2} - 1)}^{4 - x^{2}} \underset{从关于 y 的积分中提出}{\underset{⏟}{(x^{2} - 0)}} d y) d x \\ \int_{- 2}^{2} (x^{2} \underset{化简上下界的差}{\underset{⏟}{\int_{(x^{2} - 4) (x^{2} - 1)}^{4 - x^{2}} d y}}) d x \\ \int_{- 2}^{2} x^{2} (\underset{提出 x^{2} - 4}{\underset{⏟}{(4 - x^{2}) - (x^{2} - 4) (x^{2} - 1)}}) d x \\ \int_{- 2}^{2} x^{2} (x^{2} - 4) \underset{- x^{2}}{\underset{⏟}{(- 1 - (x^{2} - 1))}} d x \\ \int_{- 2}^{2} - x^{4} (x^{2} - 4) d x \\ \int_{- 2}^{2} - (x^{6} - 4 x^{4}) d x \\ \int_{- 2}^{2} 4 x^{4} - x^{6} d x \\ {[4 \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7}]}_{x = - 2}^{x = 2} \\ (4 \frac{2^{5}}{5} - \frac{2^{7}}{7}) - (4 \frac{(- 2)^{5}}{5} - \frac{(- 2)^{7}}{7}) \\ (4 \frac{32}{5} - \frac{128}{7}) \underset{这仅仅是再次加上相同的数}{\underset{⏟}{- (4 \frac{- 32}{5} - \frac{- 128}{7})}} \\ 2 (4 \frac{32}{5} - \frac{128}{7}) \\ 2 (\frac{128}{5} - \frac{128}{7}) \\ 256 (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) \\ 256 (\frac{7}{35} - \frac{5}{35}) \\ 256 (\frac{2}{35}) \\ \frac{512}{35} \end{aligned}$ ‍

例题 2 总结

正如例题 1，这个线积分变得更简单的部分原因是，当我们考察相关的偏导数时，各项得到了化简。

$\begin{array}{r} \oint_{C} \overset{\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial y} 形式简单吗? \\ 是有一点。 \end{array}}{\overset{⏞}{x^{2} y}} d x + \overset{\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} 形式简单吗? \\ 是非常简单。 \end{array}}{\overset{⏞}{(- y^{2})}} d y \end{array}$ ‍

另外，题目中的区域是由两条独立的曲线界定的。直接计算线积分需要为两条曲线计算两个独立的线积分。但二重积分很自然地一次性表示了整个区域。

另一件需要注意的是，最终的二重积分并非真的简单。在计算过程中，你还是需要在纸上做很多计算。但这是可以接受的。我们仍然可以确信格林定理简化了问题，因为每个单独的项变得更简单，还因为我们避免了对曲线进行参数化表示，还因为本来是两个独立的线积分现在只是一个二重积分。

巧妙的面积计算

在前两个例子中，我们使用格林定理将线积分转化为二重积分。在这里，让我们反其道而行之。看看由格林定理得出的二重积分：

$\iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$ ‍

还记得在例题

1

中，有幸有以下性质：

$(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) = 1$ ‍

这意味着我们的积分恰巧计算了

R

的面积：

$\iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A \to \iint_{R} d A = R 的面积$ ‍

现在假设我们并不知道

R

的面积，但我们希望计算它。你可以做的一件事是，找到一些满足旋度为一的函数对

P (x, y)

和

Q (x, y)

：

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$ ‍,

根据格林定理，使用任意一个这样的函数便可以通过线积分来计算出区域的面积：

$\begin{aligned} \oint_{C} P d x + Q d y & = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A \\ = \iint_{R} (1) d A \\ = R 的面积 \end{aligned}$ ‍

使用区域边界的线积分来计算区域的面积，这不是很奇怪吗？让我们看看它在实例中的样子。

示例 3: 贝壳的面积

问题

考虑由以下参数方程定义的螺旋线，范围为

0 \leq t \leq 2 π

。

$\begin{aligned} x (t) & = t \cos (t) \\ y (t) & = t \sin (t) \end{aligned}$ ‍

接着在螺旋线上加上从

(0, 0)

到

(2 π, 0)

的直线，并考虑它所围成的贝壳形区域。

该区域的面积是多少？

解析

步骤 1: 这个贝壳的边界是什么方向?

选出正确答案：
(选择 A)
顺时针
(选择 B)
逆时针

步骤 2: 选择适当的

P (x, y)

和

Q (x, y)

。

为了使用格林定理的技巧，首先需要找到一组满足如下性质的函数对

P (x, y)

和

Q (x, y)

：

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$ ‍

事实上，很多函数对满足了这一点。

概念测试：以下哪个函数对满足此性质？

选择所有正确的答案:
(选择 A)
$\begin{aligned} P (x, y) & = x \\ Q (x, y) & = y \end{aligned}$ ‍
(选择 B)
$\begin{aligned} P (x, y) & = - y \\ Q (x, y) & = 0 \end{aligned}$ ‍
(选择 C)
$\begin{aligned} P (x, y) & = 0 \\ Q (x, y) & = x \end{aligned}$ ‍
(选择 D)
$\begin{aligned} P (x, y) & = - y / 2 \\ Q (x, y) & = x / 2 \end{aligned}$ ‍

你可能会认为上面的第二个或第三个选项让问题变得最简单。不过，有趣的是，通常是最后一个选项让计算线积分的效果最好。这意味着求解以下积分：

$\oint_{C} \underset{P d x}{\underset{⏟}{- \frac{1}{2} y d x}} + \underset{Q d y}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} x d y}}$ ‍

或写得更简洁：

$\oint_{C} \frac{1}{2} (x d y - y d x)$ ‍

为什么这样更简单？你会待会儿就看到各项如何顺利地消去，它与表达式中包括

x

和

y

的对称性有关。老实说，我不知道你如何能提前想这一点，这真的很聪明。

步骤 3: 计算线积分。

我们的区域的边界是由两条曲线定义的。其中一条是由自变量取值为

0 \leq t \leq 2 π

的两个方程定义的螺旋线：

$\begin{aligned} x (t) & = t \cos (t) \\ y (t) & = t \sin (t) \end{aligned}$ ‍

另一条是

(0, 0)

到

(2 π, 0)

之间的直线。请注意，这条线完全位于

x

-轴上。因此

y

始终是

0

，并且

d y

也是

0

，因为

y

没有变化。因此，请考虑此段上线积分的值：

$\int \frac{1}{2} (x \underset{0}{\underset{⏟}{d y}} - \underset{0}{\underset{⏟}{y}} d x)$ ‍

积分项中的每个部分都是

0

，因此我们可以忽略它！因此，我们只需在螺旋线上求线积分并得到答案。

概念测试：考虑到

x (t) = t \cos (t)

以及

y (t) = t \sin (t)

，我们应该在线积分中

x d y - y d x

代入什么？试着在纸上求解并化简它。

$x d y - y d x =$ ‍
$d t$ ‍

$\begin{aligned} \underset{代入方程 x (t), y (t)}{\underset{⏟}{x d y - y d x}} \\ \underset{提出 d t}{\underset{⏟}{x (t) (\frac{d y}{d t} d t) - y (t) (\frac{d x}{d t} d t)}} \\ \underset{代入 x (t) 和 y (t) 的定义}{\underset{⏟}{(x (t) \frac{d y}{d t} - y (t) \frac{d x}{d t})}} d t \\ (t \cos (t) \underset{链式法则}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} (t \sin (t))}} - t \sin (t) \underset{链式法则}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} (t \cos (t))}}) d t \\ (t \cos (t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (- t \sin (t) + \cos (t))) d t \\ (t^{2} \cos^{2} (t) + t \cos (t) \sin (t) + t^{2} \sin^{2} (t) - t \sin (t) \cos (t)) d t \\ (t^{2} \underset{1}{\underset{⏟}{(\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t))}}) d t \\ t^{2} d t \end{aligned}$ ‍

最后解决：使用最后的答案来计算螺旋线上的以下线积分，这将给出所需的贝壳区域的面积：

$\int_{螺旋线} \frac{1}{2} (x d y - y d x) =$ ‍

总结

格林定理可以把棘手的线积分变成更直观的二重积分。
要想知道格林定理是否真的会使线积分变得更简单，问以下两个问题：

$\begin{array}{r} \oint_{C} \overset{\frac{\partial}{\partial y} 形式简洁吗?}{\overset{⏞}{P (x, y)}} d x + \overset{\frac{\partial}{\partial x} 形式简洁吗?}{\overset{⏞}{Q (x, y)}} d y \end{array}$ ‍

此外, 考虑曲线 $C$ ‍ 所包围的区域是否易于用二重积分表示，或者其面积是否已知。
你可以用沿逆时针方向的边界的线积分来计算区域的面积

$\oint_{C} \frac{1}{2} (x d y - y d x)$ ‍

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