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课程 2: 标量函数的线积分 (文章)

标量场中的线积分

了解如何计算和解释线积分，也称为路径积分或曲线积分。

背景知识

我们要做什么

和普通的积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ‍ 让你沿着 $x$ ‍ 轴行进并在走的过程中累加特定的小量一样, 曲线积分 $\int_{C} f (x, y) d s$ ‍ 让你沿着 $x y$ ‍-平面上的一条曲线行进, 累加由多变量函数 $f (x, y)$ ‍ 确定的特定量.
如果曲线 $C$ ‍ 由定义在 $t = a$ ‍ 到 $t = b$ ‍ 间的向量值函数 $\vec{r} (t)$ ‍ 描述, 曲线积分写作如下:

\begin{array}{r} \int_{C} f d s = \int_{a}^{b} f (\vec{r} (t)) | {\vec{r}}^{'} (t) | d t \end{array}

在这种情况下, $f$ ‍ 是一个标量值函数, 因此我们将此过程称为 "标量场中的曲线积分", 以区分我们接下来介绍的一个相关概念: 向量场中的曲线积分。

什么是曲线积分

在上一篇文章, 我们介绍了一些简洁的弧长曲线积分的记号:

\begin{array}{r} \int_{C} d s \end{array}

$d s$ ‍ 项代表沿曲线的微小长度改变.
$C$ ‍ 只是我们给曲线起的名字. 把它放在积分的底, 如 $\int_{C}$ ‍, 这是一种推迟指定积分实际边界的写法.

考虑由这些参数方程定义的曲线:

$x (t) = t \cos (t)$ ‍

$y (t) = t \sin (t)$ ‍

假设我们正在看曲线

t = 0

到

t = 2 π

之间的部分, 如下所示:

我们从写下积分开始

$\begin{aligned} \int_{C} d s & = \int_{C} \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} \end{aligned}$ ‍

d x

和

d y

都需要写作

d t

的形式. 为了做到这一点, 我们对每个参数方程求导,

$\begin{aligned} d x & = d (t \cos (t)) \\ = t (- \sin (t)) d t + \cos (t) d t \leftarrow 乘法法则 \\ = (- t \sin (t) + \cos (t)) d t \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} d y & = d (t \sin (t)) \\ = t (\cos (t)) d t + \sin (t) d t \leftarrow 乘法法则 \\ = (t \cos (t) + \sin (t)) d t \end{aligned}$ ‍

将这两个值代入积分, 并提出

d t^{2}

项:

$\begin{aligned} \int_{C} \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} \\ = \int_{C} \sqrt{((- t \sin (t) + \cos (t)) d t)^{2} + ((t \cos (t) + \sin (t)) d t)^{2}} \\ = \int_{C} \sqrt{(- t \sin (t) + \cos (t))^{2} + (t \cos (t) + \sin (t))^{2}} d t \end{aligned}$ ‍

由于积分中的所有内容都是写作

t

的形式, 我们将

t

的边界值放在积分上:

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2 π} \sqrt{(- t \sin (t) + \cos (t))^{2} + (t \cos (t) + \sin (t))^{2}} d t \end{array}$ ‍

超级讨厌的积分, 对不对? 欢迎来到曲线积分的世界.

曲线积分 通过在积分中放入一个多变量函数来扩展了这一概念,

\begin{array}{r} \int_{C} f (x, y) d s \end{array}

你可以把这个积分看作是在说

"嘿, 当你沿着曲线以 $d s$ ‍ 的微小步长行走的时候, 把每个步长乘以函数 $f (x, y)$ ‍ 在你所站的点上的值, 而不是直接把这些步距的大小相加."

下面的动画将此与求解曲线下的面积这一更常见的想法联系起来. 想象一下, 在

x y

-平面沿着曲线

C

在

f (x, y)

的三维图像下有一个窗帘. 曲线积分给出了该窗帘的面积. (初始图像是函数

f

的彩色等高线图).

你可以想象, 窗帘的面积被分解成无限多个无穷小的长方形. 每个长方形的无穷小的底为

d s = | r^{'} (t) |

, 即为沿曲线的微小步长. 每个长方形的高为

f (x, y)

, 即为

f

的图像在那一点的高度.

曲线积分的向量表示法

在上面动画的末尾, 曲线积分是这样写的：

\begin{array}{r} \int_{C} f d s = \int_{a}^{b} f (\vec{r} (t)) | {\vec{r}}^{'} (t) | d t \end{array}

让我们分解这其中的每一部分的含义.

$C$ ‍ 的参数化表示

\vec{r} (t)

是用参数化表示的曲线

C

的某向量值函数. 在二维中, 它可能看起来像这样:

\begin{aligned} \vec{r} (t) & = [\begin{array}{c} x (t) \\ y (t) \end{array}] \end{aligned}

积分的边界,

a

和

b

, 是决定曲线开始和结束的

t

的值.

本质上, 这意味着, 由于

t

的值位于

a

和

b

之间, 向量

\vec{r} (t)

的箭头沿着曲线

C

前进.

用参数化组成 $f$ ‍

求解

f (\vec{r} (t))

意味着取出

\vec{r} (t)

的

x (t)

和

y (t)

分量 , 并将它们代入到

f (x, y)

的输入中:

f (\vec{r} (t)) = f (x (t), y (t))

你可以这样理解: 给定的

t

的值将我们放在

x y

-平面上的某一点, 表示为向量

\vec{r} (t)

的箭头. 接着

f (\vec{r} (t))

给出了函数

f

在平面上该点的值.

$d s$ ‍ 是导数的大小 (乘以 $d t$ ‍)

d s

项, 代表着沿着曲线的微小步长, 可以展开为

| {\vec{r}}^{'} (t) | d t

\vec{r} (t)

的导数的大小乘以

d t

直观上理解, 这是因为导数回答了这样一个问题, "如果输入的值稍微挪动了

d t

会发生什么?" 答案是, 输出在

x y

-平面中沿着向量

{\vec{r}}^{'} (t) d t

跟着挪动. 输出空间中挪动的大小给出了沿着曲线

d s

的步长的大小, 表示为参数空间

d t

的步长大小的函数.

你还可以将此视为等价于

\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}

的一种简洁表示:

\begin{aligned} | {\vec{r}}^{'} (t) | d t & = | [\begin{array}{c} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array}] | d t \\ = \sqrt{(x^{'} (t))^{2} + (y^{'} (t))^{2}} d t \\ = \sqrt{(x^{'} (t))^{2} d t^{2} + (y^{'} (t))^{2} d t^{2}} \\ = \sqrt{(x^{'} (t) d t)^{2} + (y^{'} (t) d t)^{2}} \\ = \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{aligned}

总之, 我们得到了曲线积分的向量表示:

\begin{array}{r} \int_{C} f d s = \int_{a}^{b} f (\vec{r} (t)) | {\vec{r}}^{'} (t) | d t \end{array}

例 1: 计算一个简单的曲线积分

令

C

为以原点为中心, 半径为

2

的圆的四分之一. 更具体的来说是位于第一象限的四分之一圆.

我们可以用以下函数参数化地描述这个四分之一圆:

\begin{aligned} \vec{r} (t) & = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \\ 2 \sin (t) \end{array}] \end{aligned}

如果我们让

t

的范围从

0

到

π / 2

, 这就可以描述

C

现在我们定义多变量函数

f

为

f (x, y) = x + y

我们的目标是计算曲线积分

\begin{array}{r} \int_{C} f (x, y) d s \end{array}

下面的视频显示了沿着曲线

C

f

的图形下的 "窗帘" 是什么样子. 半透明的白色平面是

f (x, y) = x + y

的图形, 蓝色表面是我们正在计算其面积的窗帘.

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步骤1: 将 $d s$ ‍ 用 $d t$ ‍ 表示

考虑到沿曲线的微小步长

d s

的大小是由

\vec{r} (t)

的导数乘以

d t

的大小给出.

d s = | {\vec{r}}^{'} (t) | d t

在这个例子中, 求解

d s

作为参考, 我们的曲线的参数化表示为

\begin{aligned} \vec{r} (t) & = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \\ 2 \sin (t) \end{array}] \end{aligned}

d s =

d t

步骤 2: 将 $f (x, y)$ ‍ 用 $t$ ‍ 表示

该例中

f (\vec{r} (t))

是什么?

f (\vec{r} (t)) =

步骤 3: 完全只是用 $t$ ‍来表示积分并解题

由前两步, 我们的积分变为

\begin{array}{r} \int_{C} f (x, y) d s = \int_{C} (2 \cos (t) + 2 \sin (t)) 2 d t \end{array}

由于参数化表示的

C

含有从

0

到

\frac{π}{2}

的

t

, 它们是积分的边界值. 现在求解积分.

\begin{array}{r} \int_{0}^{π / 2} (2 \cos (t) + 2 \sin (t)) 2 d t \end{array} =

例 2: 更复杂的练习

理论上, 一旦你掌握了曲线积分, 它其实并不是太难. 你只需知道如何展开

d s

项, 并用参数表示

f (x, y)

的输入. 知道如何运用它只是需要一点练习, 这正是我们在这里要做的.

也就是说, 曲线积分实际计算中可能非常令人痛苦. 它们中的大多数最终都处于这样的情况: 你需要将积分输入到计算机中才能得到答案, 即使积分可以求解, 所涉及的数字也很容易变得复杂.

下面的例子表明, 即使对一个相对简单的函数, 计算曲线积分也可能是一个非常复杂的问题. 如果你想完成这个例题, 你肯定想准备好铅笔和草稿纸.

令

C

为如下函数定义的曲线

\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} \frac{1}{t} + \frac{1}{5} t^{5} \\ t^{2} \end{array}] \end{array}

在

1 \leq t \leq 2

的区间.

令

f

为函数

f (x, y) = x y^{2}

计算曲线积分

\begin{array}{r} \int_{C} f (x, y) d s \end{array}

步骤1: 将 $d s$ ‍ 用 $d t$ ‍ 表示

d s =

d t

$\begin{aligned} d s & = | {\vec{s}}^{'} (t) | d t \\ = | [\begin{array}{c} \frac{d}{d t} (\frac{1}{t} + \frac{1}{5} t^{5}) \\ \frac{d}{d t} (t^{2}) \end{array}] | d t \\ = | [\begin{array}{c} - \frac{1}{t^{2}} + t^{4} \\ 2 t \end{array}] | d t \\ = \sqrt{{(- \frac{1}{t^{2}} + t^{4})}^{2} + (2 t)^{2}} d t \\ = \sqrt{\frac{1}{t^{4}} - 2 \frac{1}{t^{2}} t^{4} + t^{8} + 4 t^{2}} d t \\ = \sqrt{\frac{1}{t^{4}} - 2 t^{2} + t^{8} + 4 t^{2}} d t \\ = \sqrt{\frac{1}{t^{4}} + 2 t^{2} + t^{8}} d t \\ = \sqrt{{(\frac{1}{t^{2}} + t^{4})}^{2}} d t \\ = (\frac{1}{t^{2}} + t^{4}) d t \end{aligned}$ ‍

顺便说一句, 根号下的函数几乎很少能这么好得凑成平方的形式. 对于这样的练习问题, 我们这些出题人往往会故意设计这样的问题, 让结果的形式变得简单.

更多的时候, 你随机想出的曲线积分不会给出一个容易求解的积分.

步骤 2: 将 $f (x, y)$ ‍ 改写为 $f (\vec{s} (t))$ ‍

当你代入

\vec{s} (t)

的分量到

f (x, y) = x y^{2}

时, 你会得到什么结果?

f (\vec{s} (t)) =

步骤 3：求解积分

将前两个步骤的答案代入积分表达式, 然后求解. 由于曲线定义在

1 \leq t \leq 2

上, 并且我们的积分由

t

的形式给出, 积分的边界是

1

和

2

(警告, 计算过程将变得特别特别恶心, 所以在需要时可以随时使用计算器.)

\begin{array}{r} \int_{1}^{2} f (\vec{s} (t)) | {\vec{s}}^{'} (t) | d t \end{array} =

请注意, 这个问题的难点不是曲线积分的新规则, 而是如何展开

d s

等等. 让问题变得复杂的是, 所涉及的项的复杂性迅速爆发.

(另外, 如果你认为这已经很糟糕了的话, 等着我们学习曲面积分的那一天吧哈哈哈.)

标量场的曲线积分

在上面所写的所有内容中, 函数

f

是一个标量值函数, 这意味着它输出一个数字 (而不是向量). 在另一种曲线积分中有轻微的改变, 你可以沿着曲线对向量值函数进行积分, 我们将在下一篇文章中介绍这一点.

为了区分这些概念, 我们刚才讨论的所有内容通常都称为 标量场中的曲线积分, 而替代方法则被称为 向量场中的曲线积分. 术语 "标量场" 只是思考多变量函数作用的另一种方式: 它将

x y

-平面上的每个点与一个标量 (即数字) 相关联, 因此整个平面就像一个布满数字的平面, 等待一个人在这一平面上沿着一条路径行走, 并将这些数积分起来.

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背景知识

我们要做什么

什么是曲线积分

曲线积分的向量表示法

C‍ 的参数化表示

用参数化组成 f‍

ds‍ 是导数的大小 (乘以 dt‍ )

例 1: 计算一个简单的曲线积分

步骤1: 将 ds‍ 用 dt‍ 表示

步骤 2: 将 f(x,y)‍ 用 t‍ 表示

步骤 3: 完全只是用t‍ 来表示积分并解题

例 2: 更复杂的练习

步骤1: 将 ds‍ 用 dt‍ 表示

步骤 2: 将 f(x,y)‍ 改写为 f(s→(t))‍

步骤 3：求解积分

标量场的曲线积分

想加入讨论吗？

$C$ ‍ 的参数化表示

用参数化组成 $f$ ‍

$d s$ ‍ 是导数的大小 (乘以 $d t$ ‍)

步骤1: 将 $d s$ ‍ 用 $d t$ ‍ 表示

步骤 2: 将 $f (x, y)$ ‍ 用 $t$ ‍ 表示

步骤 3: 完全只是用 $t$ ‍来表示积分并解题

步骤1: 将 $d s$ ‍ 用 $d t$ ‍ 表示

步骤 2: 将 $f (x, y)$ ‍ 改写为 $f (\vec{s} (t))$ ‍